SVO中的逆光流法:inverse compositional Lucas

SVO中 Inverse Compositional Image Alignment方法的学习笔记(https://blog.csdn.net/Armergg/article/details/106567744)

逆向光流法出处：Lucas-Kanade 20 Years On: A Unifying Framework(https://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15385-s12/www/lec_slides/Baker&Matthews.pdf),太长不看系列

总体上讲，逆光流法的优势主要体现在gauss-newton求解过程中的雅格比和Hessian矩阵计算上，对于常规gauss-newton在迭代过程中是不断对自变量x在目标图像中的位置处进行泰勒展开，因为每次展开点都不一样所以每次迭代都需要重新求导计算雅格比和Hessian矩阵等。

根据逆光流法采取的策略是每次都在参考图像的同一位置处展开，这样就避免了求导等操作的反复进行。

光流法是根据光度不变性假设（同一空间点在各图像上的成像点的灰度值相同）实现，也就是下面的式子：

这个公式的物理意义是参考图像T中某个点x经过一个坐标变换p得到x’，在当前帧I图像x’坐标处的像素灰度和图像T的x处像素灰度值相同。

式中T(x)表示参考图象中点x的像素灰度值。W表示关于x和p的一个函数，W(x;p)表示x点坐标经过变换（变换可以是纯平移或仿射）后的坐标。p是一个参数向量，用于构建相关的变换。I(.)表示当前图像中某点的像素灰度值。最终通过调整p的取值来使上述公式成立。

式(1)只针对一个点，但在实际中会考虑多个点对p的求解约束。因此一般的光流法求解的是下面这样的一个式子：

这是求出p关于式(2)的最小二乘解的过程，可由迭代的方法解决（如高斯牛顿法）。对于式(2)来说，p和W(.)的更新公式为（这些更新公式不难理解，就是对p和W(.)进行的一种简单叠加）：

迭代求解不可避免地要对原公式进行求导。先对式(2)求在I(W(x;p+△p))处的一阶泰勒展开：

式中的▽I(W)是I图像中W(x;p)像素坐标点处的像素梯度，它与当前像素坐标有关，也就是和p有关。同时W关于p的雅可比矩阵也与p的当前值有关。所以上述方法需要在每次迭代优化后求一次新的导数。之后就是通过构建Hessian矩阵来求出△p增量，完成迭代求解操作。大致步骤如下图：

做一个小小的总结： 可以看到上述在构建好损失函数后就是一个基于高斯牛顿法解最小二乘的过程，基于参考帧处x的坐标，不断地迭代变换p在当前帧寻找新的匹配点x’，在这个不断迭代过程中是在当前帧新的点x’处进行更新的，每次更新都需要计算相应的雅格比矩阵和Hessian矩阵，这一过程浪费了很多计算资源的消耗，逆向光流法就是针对这一现象提出的。

逆向光流法也是基于灰度不变性假设实现，但它求解的迭代优化问题不同。它求解的目标是下面这个式子:

与式子(2)相比，式(6)中图象T和I换了个位置。△p的作用对象从图像I变成了图像T（这应该是算法被称为逆向光流的原因吧）。此时，W(.)的更新公式变成了：

下面谈谈我对公式(7)的理解。首先在两张图T、I中标记出正在进行匹配两个点对，将它们分别记为Pt和Pi。由于两幅图像目前估计的仿射变换为W(x;p)，所以我们可以用下图来表示当前的情况：

这时我们在图像T中进行一次微调，也就是对Pt执行W(x;△p)操作，将变换后的点记为Pt’。此时情况如下图所示：

我们假设经过这次△p的更新之后， Pt’ 与Pi之间的灰度误差最小，可认为 Pt’ 就是Pi对应的匹配点。得，弄了半天找了个 Pt’ 的匹配点。不过没有关系，至少我们知道Pi不会是Pt的匹配点。因此要在图像I中继续搜索，即移动Pi的位置，获得新的点Pi’。怎么移呢？我们这样想，既然 Pt’ 是通过△p变换获得的，那么对Pi使用与△p方向相反的变换（从这儿可以看出逆向光流法的限制是需要W(.;△p)是可逆的！）就有可能获得与Pt匹配的点。这一步由式(9)来实现，情况如下图所示：

那么这样的方法有什么好处呢？我们先对式(8)进行一阶泰勒展开，从展开式中就能够看出这个方法的优势：

式中的▽T代表的是W(x;0)点处的像素梯度，它是一个固定的量。W关于p的雅可比矩阵是在(x;0)处求得的（这就说明p对雅可比的计算是没有影响的），也是个固定量。之后就是通过构建Hessian矩阵来求出△p增量，完成迭代求解操作。大致步骤如下图：

从图中可以看出，由于有些量在整个迭代过程中是固定的，所以能够在算法的一开始就计算出来它们的值，且在迭代过程中可以一直使用，不需要更新。这固定的量就是降低整个算法计算量的关键所在。