为什么要在线性变换中定义值域与核？

核（Kernel）和函数的像（Image / Range）

这两个对象几乎是你在研究所有初等代数结构的最重要的几个概念之一，如果你了解过 Canonical Decomposition of Function，First Isomorphism Theorem 之类的概念的话你会对这两个概念有非常深刻的印象，当然这是后话。

首先明确你说的是一个线性映射，所以满足线性映射的基本性质（也就是态射 Homomorphism，保持原有的线性代数结构，也就是满足性质 T(cv + b) = cT(v) + T(b) ），这时候讨论 Kernel 才相对有意义，为什么？你可以关注一下 Kernel 的定义：

设 V, W 是在域 \mathbb{F} 上的向量空间，并且存在线性映射 T: V \to W，定义 \text{ker}(T) = \{T(v) = 0 : v \in V\}。

你可能会好奇，为什么要定义成这样，Kernel 凭什么特殊？为什么偏偏是 0，能不能是 114514 。

这就要回到对向量空间和子空间的定义，为什么这些空间一定要有 0 ，这就是他们这个代数结构本身的特殊性，他们有单位元（Identity），也就是这些空间一定存在一个元素 e ，s.t. v \circ e = v ，这里的 \circ 可以是任何的二元运算符（Binary Operator），比如加法，乘法。所以回答上面的问题，为什么偏偏是 0，这是因为 0 是向量空间上的向量的加法单位元。

至于为什么不能是 1 ，这就需要了解 V 和所在的域 \mathbb{F} 之间的关系，这比较复杂，但是你可以粗略的理解为，域 \mathbb{F} 提供了向量的数乘，而线性映射本质上是在做一系列换基和线性组合，你关心的是数乘之后的向量 v' = cv 之间的加法，而不是原有的 cv，所以在这样一个基础上，如果一个线性映射，能把一些 v 映射到 0，说明从定义域（Domain）空间上的一个 v, v \neq 0 变成了到达域（Codomain）上的单位元，自然你会发现他非常的特殊。

Kernel 可以提供非常多重要的信息，比如，最常用的：

\text{ker}(T) = \{0\} 当且仅当 T 是单射（Injective），我随便搜了一个证明可以参考一下：https://math.stackexchange.com/questions/2164333/why-does-kert-0-leftrightarrow-t-is-injective

进一步的推导你会发现 Rank–nullity theorem，也就是（沿用上文对 T 的定义）

\text{dim}(\text{im}(T)) + \text{dim}(\text{ker}(T)) = \text{dim}(\text{domain}(T))

其中 \text{im}(T) := \{ T(v) : v \in V\} ， \text{domain}(T) = V ， \text{dim} 是指空间的维度（Dimension）

进一步如果你知道什么是 等价类（Equivalence Class），那么很容易可以发现，我们可以通过 Kernel 和函数值 Partition 整个 Domain（定义关系 \sim，f(a) = f(b), a \sim b ， 自反性（Reflexive），传递性（Transitive），对称性（Symmetric）可以从 = 直接得到，所以这是一个等价关系），也就是我们将映射后值相等的元素组合在一起（也就是使得 T 不能成为单射的这些点把他们组起来），将他们视作为一个整体，定义一个新的从 集合到元素的 的映射，接着你会发现我们可以通过这样的关系，使得原本可能不是单射的 T ，变成一定是单射的 T_{\text{inj}} ，如果我们再把原有到达域上的达不到的地方全部抛掉（限制到达域），我们就可以把可能不是满射的 T ，变成一定是满射的 T_{\text{sur}} ，结合这样两种方法，我们可以将任何的 T 变成可逆的（也就是双射）

推荐你可以参考 Serge Lang, Linear Algebra（本科适用）和 Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0 （虽然是 Graduate Texts 但是其实很适合本科生读）可以深入了解代数和线性代数的关系。