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判别分析例题
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例一
解： （1）距离判别准则，使用马氏距离来判断，样品到第i个总体的马氏距离为 d i 2 ( x ) = {d_i^2}(x)= di2(x)= ( x − μ i ) 2 σ i 2 (x-{μ_i})² \over {σ_i^2} σi2(x−μi)2分别计算出样品x=2.5到三个总体的距离为： （2） 样品属于总体i的后验概率为： z i {z_i} zi(x)=ln q i {q_i} qi- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ i {Σ_i} Σi|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d i 2 ( x ) {d_i^2}(x) di2(x)由于题目已知先验概率
q
i
{q_i}
qi相等，可以只计算-ln|
Σ
i
{Σ_i}
Σi|-
d
i
2
(
x
)
{d_i^2}(x)
di2(x)的部分，去掉负号计算如下
解： 这题和上一题一样，只不过正态总体从一维变成了二维的。 （1）样本t到总体i的马氏距离： d i 2 ( x ( t ) ， G i ) = {d_i^2}({x_{(t)}}，{G_i})= di2(x(t)，Gi)= ( x ( t ) {x_{(t)}} x(t)- μ i {μ_i} μi)’ Σ i − 1 {Σ_i^{-1}} Σi−1( x ( t ) {x_{(t)}} x(t)- μ i {μ_i} μi)对于样品 x ( 1 ) {x_{(1)}} x(1)： d 1 2 ( x ( 1 ) ， G 1 ) = {d_1^2}({x_{(1)}}，{G_1})= d12(x(1)，G1)= 25 d 2 2 ( x ( 1 ) ， G 2 ) = {d_2^2}({x_{(1)}}，{G_2})= d22(x(1)，G2)= 21.25 所以应判归 G 2 {G_2} G2 对于样品 x ( 2 ) {x_{(2)}} x(2)： d 1 2 ( x ( 2 ) ， G 1 ) = {d_1^2}({x_{(2)}}，{G_1})= d12(x(2)，G1)= 50 d 2 2 ( x ( 2 ) ， G 2 ) = {d_2^2}({x_{(2)}}，{G_2})= d22(x(2)，G2)= 12.5 所以应判归 G 2 {G_2} G2。 （2）样品属于总体i的后验概率为： z i {z_i} zi(x)=ln q i {q_i} qi- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ i {Σ_i} Σi|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d i 2 ( x ) {d_i^2}(x) di2(x)此题也是先验概率相同，因此也可以只计算后面两项，取最小值 （如果先验概率和协方差阵都相同，那么就等价于距离判别法） 我在这里选择把后验概率计算出来，取最大值： 对于样本 x ( 1 ) {x_{(1)}} x(1)： z 1 {z_1} z1(x)=ln 1 2 \frac {1}{2} 21- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ 1 {Σ_1} Σ1|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d 1 2 ( x ( 1 ) ， G 1 ) {d_1^2}({x_{(1)}}，{G_1}) d12(x(1)，G1)=-1-12.5=-13.5 z 2 {z_2} z2(x)=ln 1 2 \frac {1}{2} 21- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ 2 {Σ_2} Σ2|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d 2 2 ( x ( 1 ) ， G 2 ) {d_2^2}({x_{(1)}}，{G_2}) d22(x(1)，G2)=-1-2-10.625=-13.625 应该选大的那个，所以应判归 G 1 {G_1} G1 对于样本 x ( 2 ) {x_{(2)}} x(2)： z 1 {z_1} z1(x)=ln 1 2 \frac {1}{2} 21- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ 1 {Σ_1} Σ1|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d 1 2 ( x ( 2 ) ， G 1 ) {d_1^2}({x_{(2)}}，{G_1}) d12(x(2)，G1)=-1-25=-26 z 2 {z_2} z2(x)=ln 1 2 \frac {1}{2} 21- 1 2 \frac {1}{2} 21ln| Σ 2 {Σ_2} Σ2|- 1 2 \frac {1}{2} 21 d 2 2 ( x ( 2 ) ， G 2 ) {d_2^2}({x_{(2)}}，{G_2}) d22(x(2)，G2)=-1-2-6.25=-9.25 应判归 G 2 {G_2} G2 |
应选择距离最小的，即
d
3
2
(
x
)
{d_3^2}(x)
d32(x)，所以按照距离判别准则应把样品归为
G
3
{G_3}
G3
选择最小的，因此样品判归为
G
1
{G_1}
G1 （如果不去掉负号，直接计算后验概率，应选择最大的，表示样品属于该类的概率最大）
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