三大抽样分布

定义 设 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) (X_1,X_2,...,X_n) (X1​,X2​,...,Xn​)是来自总体 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1)的一个样本，则称统计量： χ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 \chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2 χ2=i=1∑n​Xi2​所服从的分布是自由度为 n n n的卡方( χ 2 \chi^2 χ2)分布，记作 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2\sim\chi^2(n) χ2∼χ2(n)。自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

卡方随机变量 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)的概率密度函数为： f χ 2 = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 , x > 0 0 , x ⩽ 0 f_{\chi^2} = \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, & \text{$x > 0$} \\ 0, & \text{$x \leqslant 0$} \end{cases} fχ2​={22n​Γ(2n​)1​x2n​−1e−2x​,0,​x>0x⩽0​其中， Γ ( n 2 ) = ∫ 0 ∞ x n 2 − 1 e − x d x ， Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{n}{2})=\int_{0}^{\infty}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-x}dx，\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(2n​)=∫0∞​x2n​−1e−xdx，Γ(21​)=π ​

卡方分布的性质

上 α \alpha α分位数 设随机变量 X X X的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x)，对于给定的正数 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0