统计学名词解释

统计学中有一些很重要的度量方式，如同「概率论」中用期望、方差评价分布的离散情况一样；在统计学里也使用了相似的概念，比如说「均值」、「方差」，另外还多了一个「样本炬」，现在让我们来看看这些具体的定义吧。

X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i Xˉ=n1​i=1∑n​xi​

这个没什么好特别说明的，就是把「样本个体」的值相加后除以「样本总数」得到一个平均值。

S 2 = D ( X ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 S^2 = D(X) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 S2=D(X)=n−11​i=1∑n​(xi​−μ)2

样本方差，和总体方差 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 n1​∑i=1n​(xi​−μ)2 同样是对离散程度的估计，但是两者之间存在着一定的区别。

由于统计学引入了 自由度 的概念，所以通常情况下我们计算样本方差时会把 n n n 调整为 n − 1 n-1 n−1。因为对于两两独立的样本来说，评价它们的离散情况，我们最少需要两个样本参与计算，这就导致我们不能使用 n n n 来作为方差均值的分母，而只能用 n − 1 n-1 n−1。

设 x 1 , ⋯ x n x_1, \cdots x_n x1​,⋯xn​ 为从总体F中抽取的样本，则称

a k = 1 n ∑ i = 1 n x i k , k = 1 , 2 , ⋯ a_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^k, k = 1, 2, \cdots ak​=n1​i=1∑n​xik​,k=1,2,⋯

为样本k阶原点矩，如果 k = 1 k =1 k=1 时， a 1 = X ˉ a_1 = \bar{X} a1​=Xˉ 即样本均值，称

m k = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − X ˉ ) k , k = 2 , 3 , ⋯ m_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^k, k = 2, 3, \cdots mk​=n1​i=1∑n​(xi​−Xˉ)k,k=2,3,⋯

为样本k阶中心矩。

对于什么是「样本矩 」，中文的翻译其实真让人摸不着头脑。「矩」引用自物理学，数学上对于「矩」的比较正式的定义如下：

在数学中，函数的矩是与函数图形形状相关的定量度量。 如果函数表示质量，则一阶矩为质心，二阶矩为转动惯量。 如果函数是概率分布，那么第一个矩是期望值，第二个中心矩是方差；第三个标准化矩是偏度；第四个标准化矩是峰度。 数学概念与物理学中的矩概念密切相关。

而「矩」在物理上原本的定义如下：

在物理学中，矩是表示距离和物理量乘积的物理量（即向量叉乘）。由其定义，矩通常需要一个参考点（基点或参考系）来定义距离。如力和参考点距离乘积得到的力矩（或扭矩），原则上任何物理量和距离相乘都会产生力矩，质量，电荷分布等。