图论，数学和艺术课程中反复出现的主题

图2纽结相对于图的边交叉的两种可能的方向。

为了更好地理解图形编码纽结结构的方式，学员可以颠倒这个过程，从纽结图开始，产生基本的平面图形，如图3所示。首先，请注意，有一种独特的方式来涂色纽结图的区域，使得外部区域被涂色，并且相同颜色的区域不相邻。以这种方式涂色后，在每个非涂色区域放置一个顶点。在每个交叉点上放置一条边，连接对应于在交叉点相遇的两个区域的两个顶点。每个交叉点都是图4所示的两种类型之一。每个交叉点对应的边可以将这些信息编码如下：如果交叉点如图4(a)所示，用实线画边，如果交叉点如图4(b)所示，用虚线画边。

图3 涂色纽结图和相应的平面图。

图4 阴影纽结图中的两种交叉。

由于平面图用于构造纽结，这是引入欧拉公式V-E+F=2的绝佳机会，其中平面图的面数F包括外表面。欧拉公式将在下面的第3节和第4节中发挥重要作用。

对于大型图形，上面概述的手工绘制结的过程可能很耗时。幸运的是，有几个很好的绳结软件可供选择。例如，Knotsbag [2]生成了外观壮观的结，并用于创建图5，而更简单的Knotwork [3]可作为小程序在线获得。

图5 用Knotsbag制作的结。

Mercat编制了一个全面的凯尔特结网站[4]，上面有一些历史，上述程序的详细说明和练习。该网站还描述了更先进的技术，如使用双重图形创建封装的“可堆叠”结，以及创建适合合并到人和动物的绘图中的结的说明。这是一个数学和艺术课程的大学员独立项目工作的极好资源。

高中生也喜欢打结。他们很惊讶自己能这么快就学会构造如此复杂的设计。数学抽象使我们能够解决表面上看起来太难的问题。

凯尔特结可以用来介绍结理论，有许多有趣的与结相关的活动适合所有水平的学员(例如，见[5]，[6]和[7])。

3 柏拉图立体

学员可以很容易地建立自己的柏拉图立体模型。软糖和牙签可能是学员们最喜欢的，但对于十二面体和二十面体来说，由于过于松软，可能会有些棘手。另一种可能性是使用切割成适当长度的吸管，用铁丝穿过吸管，拧在一起，连接起来。在学员有时间建立一组模型后，我让他们完成图6所示的图表，其中包括一列，以验证欧拉公式对每个固体都适用，就像它对第2节中用于构建结的平面图一样。此时，学员可以在表格中搜索其他模式，例如

然后可以证明这些是唯一可能的凸正多面体。

图6 关于柏拉图立体的组合信息的图表。

在搜索表格中的模式时，学员可能还会注意到立方体和八面体有相同的边数，一个的顶点数等于另一个的边数，十二面体和二十面体也是如此。现在可以引入平面图的对偶图概念(或者回忆一下，如果学员已经学会使用对偶图来产生封装的凯尔特纽结)，并用于研究为什么这些模式成立，并发现立方体对其自身是对偶的。

数学俱乐部或学员团队也可以建造超大的柏拉图立体，如图7所示的十二面体，这个模型是根据汤姆·赫尔的PHiZZ单位建造的，说明可以在网上找到[8]。每个PHiZZ单元变成十二面体的一条边，所以需要30个，我的学员用一张海报板做每个单元。这可能是一个耗时的项目；可能需要一节课来剪切和折叠所有的PHiZZ单元，另一节课来构建模型并将其展示在显著位置。每个模型至少有四个学员的小组是最好的，这样裁剪和折叠就不会变得太乏味。此外，虽然使用像纸板一样厚的材料可以制作出耐用的最终模型，但如果折叠工作不是由几个人共同完成的话，手指可能会很难受。虽然一些学员可能很难仅根据书面说明理解如何折叠PHiZZ单元，但我发现，如果为他们演示，大多数人都能很快学会，那些最先理解的人会喜欢帮助其他人。

图7 表现出三边涂色的折纸十二面体。

学员们可能会想知道在他们的模型中使用有趣或有吸引力的涂色方法。人们很自然地会问，是否有可能对十二面体进行三边涂色，也就是说，用三种颜色来构建模型，使得相同颜色的两条边都没有共享一个共同的顶点。一开始，学员可能会认为他们应该开始构建模型，并在他们前进的过程中解决这个问题，但它需要一点灵巧来将PHiZZ单元连接在一起，学员不会想要深入到最后几个部件，并意识到他们被卡住了。在这种情况下，我们可以用图形。相反，学员们可以先画一个十二面体的图形(或者给出图8中的图形)，然后用彩色铅笔尝试三边涂色。你可以询问是否有人在这个过程中提出了任何有趣的策略(也许是使用对称)，并指出他们正在使用三维(3D)对象的二维(2D)模型，以便有更容易处理的东西。2D模型忽略了3D版本的一些特征，如角度和边的长度(事实上，一些学员的画可能看起来与图8非常不同)，但保留了与手头任务相关的东西：顶点和边的数量以及它们如何相互连接。一个成功的涂色可以很容易地实现，然后可以用作正确涂色模型的映射，特别是如果学员能够识别其中的模式。要求学员验证他们的图形具有适当数量的顶点、边和面(挑战将是找到“缺失的”面)。

这项活动有许多令人满意的方面。由于它需要许多不同的技能(视觉/空间，发现对称和模式的能力，手工灵巧性，团队组织和领导能力等)，它使所有学员都能发挥积极的作用，包括那些通常在数学课上不擅长的学员。它的结果是适合在公共场所展示的东西。为了表彰学员的努力并鼓励更广泛的兴趣，在模型展示后，我在附近张贴了一些关于十二面体的信息，并确定了负责建造它的学员。我还留下了如图8所示的谜题副本。

图8 十二面体涂色游戏，用三种颜色涂色。

当然，更高级的模型是可能的。按照乔治·哈特网站上的说明[9]，一个截头二十面体可以由90个PhiZZ单元，或者由CD和电缆扎带构建而成。事实上，任何有三条边在每个顶点相交并且只有五边形和六边形面的多面体都可以由PhiZZ单位制成。这种多面体被称为布基球，学员可以使用对偶图来发现布基球族，如汤姆·赫尔的网站[8]所述。首先，欧拉公式和方程(1)的适当推广可以用来证明一个惊人的事实，即任何布基球必须恰好包含12个五边形面(因此十二面体是最小的可能布基球)。学员可以从十二面体的图形开始，构造它的对偶，即二十面体。注意，二十面体的所有顶点都是五次的。二十面体的每个三角形面都可以细分成n≥2的n^2三角形，这样，每个新创建的顶点的度数都是6。因此，这个图的对偶将是一个布基球。此外，二十面体的细分三角形面之一的对偶图充当拼块，在构建布基球模型时非常有用。简单地将这些瓷砖连接在一起，记住二十面体的结构。

对于许多其他折纸模型的链接，见[10]。学员还可以进一步探索图的涂色，也许找到十二面体所有可能的三边涂色，或者尝试给二十面体的图五边涂色。

4.第四维

在大学数学和艺术课上讲授线性透视单元之后，往往会提到射影几何和维度。在20世纪初，许多艺术家受到四维几何的影响，四维几何在当时的物理学中起着重要作用。Robbin[11]给出了理解第四维度的投射模型的历史(根植于投射几何)，并证明它仍然是当代艺术、数学和计算机可视化的灵感来源。亨德森[12]提供了艺术家和科学家之间互动的丰富文本证据，以及结合艺术家对第四维度概念的绘画分析。

通过定义和构建超立方体(一项改编自[13]的活动)可以了解维度。首先可以要求学员定义0维、1维、2维和3维立方体的含义。学员可能会提出类似图9的建议。现在显示图1(a)中的图形，并询问它是否也是一个3D立方体。指出3D立方体必须被压扁以适应2D黑板。这两种观点只是从不同的方向进行挤压。这些表示有什么不同?它们怎么一样?它们各自的优点和缺点是什么?也许以同样的方式，一个4D立方体可以被“压扁”以适应3D空间。与黑板上绘制的3D立方体一样，这样的模型不会保留真正的4D超立方体的所有直角和等长边，但它将具有相同数量的顶点、边、面和3D单元格，并将保留它们彼此连接的方式。

图9 0、1、2、3维

现在学员们可以猜测四维立方体有多少个顶点(数一下小于四维的立方体的顶点)。n维立方体中有多少顶点?挑战他们找到一个合理的方法来扩展这些立方体的绘图序列。一种可能是将每个立方体视为低一维的立方体的形式，通过在“垂直于自身”的方向上移动一个单元。然而，这个定义对于三维以外的立方体的描绘并不是很有帮助。学员们现在将会理解n维立方体的图论定义，即维度为n-1的立方体与两个顶点上的完整图的笛卡尔积。定义图G1, G2的笛卡尔积G1×G2的顶点集为G1和G2的顶点集的笛卡尔积。两个顶点(u1, u2)和(v1, v2)在G1×G2中是相邻的，无论在G2中u1 = v1, u2与v2相邻，或者在G1中u2 = v2, u1与v1相邻。因此，为了获得一个n维的立方体，绘制两个n-1维的立方体并连接所有对应的边。在这一点上，学员应该能够画出一个四维甚至五维的立方体——尽管有许多交叉——并且能够找到一个n维立方体中边数的递归公式。当n≥4时，n立方体的图是非平面的。在前面两节中，学员只遇到过平面图形，现在可以考虑非平面图形的“交叉数”，即图形在平面上可以画出的最小可能的交叉数。四维超立方体的交叉数是8，学员可以挑战生成一个只有8个交叉的超立方体图(图10)。

图10 具有最小交叉数(8)的超立方体图

现在学员可以建立一个没有交叉点的4D立方体模型，如图11所示。再说一次，口香糖和牙签或者铁丝和吸管都很好用。这个模型可以与用来创建图1(a)的投影进行比较。在图1(a)中，在一个较大的正方形中有一个小正方形，而在超立方体模型中，一个小立方体包含在一个较大的立方体中。如果小立方体的边长是大立方体边长的一半，学员可以计算连接这两个立方体的边的适当长度(他们应该将吸管或牙签剪得比这个短一点，以留出顶点所需的额外空间)。或者，适当的长度可以在讲义上注明。

图11 一个超立方体模型，由吸管和铁丝组成，呈现四边涂色。请参见本图彩色版本的插页。

成功地对十二面体进行了三边涂色的学员可能想知道超立方体是否可以是四边涂色的，更一般地，n维立方体是否可以是n边涂色的。通过观察，很容易看出这是正确的，如果一个图Gi对于i = 1，2可以是k1-边涂色的，那么笛卡儿积G1 × G2可以是k1+k2-边涂色的。学员们可以利用这种观察来制作他们的超立方体模型的四边涂色，或者他们可以进一步挑战超立方体的四边涂色，以这样一种方式，每个正方形有一条边是每种颜色。

如果学员们已经发现了柏拉图立体的E = nF/2，他们现在可以证明超立方体的E = 4F/3，并使用它来计算超立方体的面数。在学习了四维欧拉公式(V-E+F-C=0，其中C表示3D单元的数量)后，学员可以证明超立方体有八个3D单元，然后尝试在他们的模型中找到所有八个单元。

学员可能对超立方体的其他表示感兴趣，比如图12中的表示，或者萨尔瓦多·达利的超立方体语料库。一个有趣的立体超立方体动画可以在[14]在线观看。

图12 对称超立方体投影。

5 敲钟

最后，图可以用来作曲。在传统的英国敲钟中，重达数吨的钟被安装在一个木轮上，一根绳子垂到敲钟室里。当敲钟人拉动绳子时，钟就会旋转一圈，然后以嘴朝上的姿势短暂停留。在再次敲响之前，钟在这个位置上保持平衡的时间只能有轻微的变化。由于这些机械的限制，变响并不涉及旋律本身，而是遵循严格的数学规则。连续排列的n个钟被敲响，一个“广度”包括敲所有可能的排列。给铃铛标上1,2,3…,n按音高由高到低的顺序排列，我们可以把音域组成的三个主要规则表述如下:

1. 从开始到结束是1,2,3，…, n。

2. 每隔n个钟的排列敲一次。

3.从一个排列到下一个排列，每个钟最多只能移动一个位置。(例如，1、2、3、4、5、6后面可以接1、3、2、4、6、5，但不能接3、1、2、4、6、5，因为这需要第三个铃移动两个位置。)

学员可以很容易地检查出三个钟只有两个音区。然而，如果没有一些额外的工具，他们会发现很难找到四钟的范围。

回想一下，包含图中所有顶点的循环被称为“哈密顿循环”。图论和变环之间的联系是这样的：n个钟上的范围对应于Cayley颜色图G△(Sn)中的哈密顿循环，其中△的每个元素都是不相交转置的乘积，这样每个转置都由连续的整数组成(有关Cayley颜色图的更多信息，请参阅[15]的第30章)。有了这些知识，学员可以通过在图13所示的图表中找到哈密顿循环来组成自己的四钟范围。高级学员可以被要求自己构建这个图表。这个图是非平面的，但是应该提醒他们要画出一个有尽可能少交叉的图，并且要画出一个对称的图，这样更容易找到哈密顿循环。在成功地编写了一个范围后，学员可以享受将它输入到The Bells Applet[16]中来听它演奏。

图13 S4的Cayley色图

如果时间允许，学员还可以在研究等边三角形和正方形的刚体运动集合后，构造二面体群的Cayley色有向图。这提供了一个机会来提醒学员两个图的笛卡尔积的思想，这是我们在上面定义超立方体时看到的。对于△由2π/n弧度旋转和一次翻转组成，Cayley彩色有向图G△(Dn)的底层图是一个n周期与两个顶点上的完整图的笛卡尔积(见图14)。进一步研究艺术和建筑设计中的对称组，如玫瑰窗、伊斯兰艺术和标志及其相应的Cayley彩色图，将加强这样的观点，即图形是一种可以抽象和更好地理解主题的基本对称类型的手段。

图14 前四个二面体群的Cayley色有向图

可以将哈密顿循环与旅行推销员问题联系起来讨论，学员可以证明n-立方体在n≥2时是哈密顿的(n-立方体定义为笛卡尔积的一个简单结果)。

如需了解更多有关变化敲钟艺术和基础数学的信息，请参阅[17]、[18]或[19]的第6章。

References参考文献

[5] Starbird, M.P. and Burger, E.B., 2005, The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking (Emeryville: Key College Publishing).

[6] Adams, C.C., 2004, Why Knot? An Introduction to the Mathematical Theory of Knots (Emeryville: Key College).

[9] G. Hart, A Classroom-Constructable CD Sculpture (2007).

[11] Robbin, T., 2006, Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism, and Modern Thought (New Haven: Yale University Press).

[12] Henderson, L.D., 1983, The Fourth Dimension and Non Euclidean Geometry in Modern Art (Princeton: Princeton University Press).

[13] Phillips, T., An Introduction to the Vocabulary of Dimension: Activities to Accompany the Posters: Squeeze the Phase Space and Dusa McDuff (1998). Available at:

[15] Gallian, J.A., 2006, Contemporary Abstract Algebra, 6th edn (Boston: Houghton Mifflin Company).

[17] Price, B.D., 1969, Mathematical groups in campanology. Mathematical Gazette, 53, 129–133.

[18] White, A.T., 1987, Ringing the cosets. American Mathematical Monthly, 94, 721–746.

[19] Polster, B., 2003, The Mathematics of Juggling (New York: Springer-Verlag).

[20] Leslie D. Hayes, Graph theory as a recurring theme in a series of mathematics and art course modules

青山不改，绿水长流，在下告退。

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