极限类题之利用两个重要极限

两个重要极限，是人们总结出的非常有用的结论. 许多题目都可以转化到它们身上.

1. \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}}=1 这个重要极限的框架是： \lim_{x\rightarrow \triangle}{\frac{sin\diamond}{\diamond}}=1 只要两个 \diamond 里的形式完全一致，并且 x 的趋向方式能使得两个 \diamond 都趋于零，那这个极限就等于 1. 在课本上，这个极限是用夹逼准则证明的，这也是最佳的证明方法. 我们最好不要用洛必达法则，因为在使用洛必达法则时，会遇到 sin x 的求导问题，我们现在当然知道 sin x 的导数是 cosx ，但是事实上(sinx）‘=cosx正是利用这第一个重要极限证明的. 所以一旦用洛必达法则证明了第一个重要极限，会产生循环论证的问题.当我们遇到有关三角函数的极限时，要善于往这个重要极限身上考虑，毕竟这个重要极限就是关于三角函数的嘛. 因为这个重要极限中只有正弦，所以当遇到切函数（正切余切）和割函数（正割余割）的时候，要尝试一下能不能通过“切割化弦”，即利用“tanx=\frac{sinx}{cosx},cotx=\frac{cosx}{sinx},secx=\frac{1}{cosx},cscx=\frac{1}{sinx} "来解决问题. 而对于余弦，则可以考虑用二倍角公式的变形 cosx=1-2sin\wedge\frac{x}{2} 来换走它. 当然，我们也不能不管三七二十一地一换了之，有些本不必换走就能做出来的，如果强行换走，会南辕北辙. 所以你的变形一定要有目的地进行，不能乱变一通。下面看一个例题：

还有一个值得注意的例题，极限 \lim_{x \rightarrow 0}{}\frac{sin(xsin\frac{1}{x})}{x} 是不是等于 1 呢？它看起来

确实非常符合上述框架，但它也确实不等于 1. 但是根据函数在 x\rightarrow x_{0} 时的极限的    \varepsilon-\delta 定义，函数 f（ x ）在点 x_{0} 的某一去心邻域内有定义，而对于那些在去心邻域内没有定义的函数，是不能讨论极限的. 这个极限 \lim_{x \rightarrow 0}{}\frac{sin(xsin\frac{1}{x})}{x} 的分子上有一个 sin\frac{1}{x} 在 0 \rightarrow x  时能够非常频繁地取到零值，而且 x 越趋于 0， sin\frac{1}{x} 越频繁地等于 0， \lim_{x \rightarrow 0}{}\frac{sin(xsin\frac{1}{x})}{x} 越频繁地无意义，在 x=0的任何一个去心邻域内都无法保证一直有意义，所以这个极限是不符合函数极限的定义的. 因此 \lim_{x \rightarrow 0}{}\frac{sin(xsin\frac{1}{x})}{x} 不存在.

2. \lim_{x\rightarrow \infty}{(1+}\frac{1}{x})^{x}=e 或者 \lim_{x \rightarrow 0}{(1+x)}\wedge\frac{1}{x}=e 这个重要极限的框架是 \lim_{a \rightarrow \Delta}{(1+\frac{1}{\diamond})^{\diamond}=e} . 只要两个 \diamond 里的形式完全一致，并

且 x 的趋向方式能使得两个 都趋于无穷，那这个极限就等于 e .当我们看到指数上含有 x 的时候，要善于往这个重要极限身上想. 不过有时候这个指数是“隐形”的，打眼一看没有指数，比如 \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{ln(1+x)}{x}} .这的确没有指数，但是我们通过对数的运算性质，就能变出指数：

还是mythtype打的舒服。有时候对数真的挺神奇的~（这道题可不可以用等价无穷小呢？对这道题而言，最好不要，因为既然让你做这道题，应该出题者的意思是让你证明它俩是等价无穷小. 你都不知道这个极限是 1，怎么知道它俩是等价无穷小呢？）

还有的时候，括号里面并不是 1+\frac{1}{\diamond} 的形式，这就需要我们凑出来. 怎么凑呢？首先，如果没分离常数就先分离常数. 分离完常数以后，把分离剩下的那个分式取个倒数放在分母上，应该就是一个 1+\frac{1}{\diamond} 的形式（一般你分出的常数都是 1）. 比如

接下来处理指数. 首先要把指数变成跟刚才分母上一样的形式，然后再看看跟原本的指数有什么变化，多加了再减掉，多乘了再除掉.比如 \lim_{x \rightarrow \infty}({\frac{x-2}{x+3}})^{x} .通过刚才的分离常数，我们变形成了 \lim_{x \rightarrow \infty}({1+\frac{1}{\frac{x+3}{-5}}})^{x} .所以我们先暂时写成 \lim_{x \rightarrow \infty}({1+\frac{1}{\frac{x+3}{-5}}})^{}\frac{x+3}{5} ,再跟 x 作比较，发现这个指数比 x 多加了 3，多除以了 5. 所以应该倒回去就应该是

接下来就很容易得到答案 e ^{-5} . 当然除此之外我们还有一种方法来解决这道题：

一般的，我们有

证明方法就是把上面的过程走一遍.有了这个，我们就瞬间知道

填空直接填，再也不怕咯~有一件神奇的事情是，通过结论能看出，指数上的 d 对这个极限值并没有影响.

以上两个重要极限，是解决很多极限问题的钥匙，有太多题目都可以转化成这两种题型，一定要灵活运用.

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