流体力学中某些随机偏微分方程的适定性和动力学研究

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作者：

林琳

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摘要：

随机偏微分方程近年来成为数学研究的热点之一,它被用以刻画现实世界中受噪声干扰的,具有不确定性的现象和模型,并被广泛地应用于物理,化学,生物,气象学等各领域.本文主要研究流体力学中的若干随机偏微分方程的适定性和动力学行为,论文共包括五章.第一章为引言,介绍本文的研究背景和预备知识.我们首先回顾了论文所涉及的广义金兹堡朗道(Ginzburg-Landau,GL)方程,Kuramoto-Sivashinsky和Ginzburg-Landau方程组以及高阶修正Camassa-Holm方程的物理背景和研究进展;接着介绍了本文所需要的预备知识,包括关于泊松随机鞅测度的随机积分,随机吸引子以及一些常用的不等式等等.第二章我们考虑了跳噪声驱动下的随机广义Ginzburg-Landau方程的适定性问题.注意到确定性的以及白噪声驱动下的随机广义GL方程的适定性已有丰富的结果(详见文献[51-55,69,96,101-103]),本章的研究目标是将适定性结果由白噪声驱动的广义GL方程的扩展到跳噪声驱动的广义GL方程.在证明过程中,我们借鉴了Brzezniak和Liu[15]中的部分思路,即通过先验估计,弱收敛以及单调性讨论,证明跳噪声驱动的下具有局部单调系数的随机偏微分方程强解的存在性.然而需要指出的是,对于广义GL方程,非线性项的局部单调性显然不能直接满足.为此,我们通过方程非线性项自身的特有结构以及细致的推导估计来克服这个困难,并利用Fadedo-Galerkin方法和单调性讨论得到解的存在唯一性.第三章我们讨论了白噪声驱动下的随机Kuramoto-Sivashinsky和Ginzburg-Landau(KS-GL)方程组的渐近行为.本章首先得到了此类方程组解的整体存在性,并验证其解生成一个连续的随机动力系统;而后再在紧吸收集存在性证明的基础上,证明了KS-GL方程组的随机吸引子的存在性.第四章我们研究了时空白噪声驱动下的高阶修正的Camassa-Holm方程的适定性,以及当驱动噪声衰减时解的极限行为.对于几乎处处的ω当u0∈Hs(R),s-n+5/4且n2时,本章通过建立方程的一个新的守恒律和Bourgain空间Xs,b(b1/2)中的双线性估计得到了方程初值问题局部解的存在唯一性.此外,本章还证明了当u0∈L2(Ω,H1(R))且驱动噪声衰减时,随机修正Camassa-Holm方程的整体解在空间L2(Ω;C([0,T];H1(R)))中存在,且收敛于相应的确定性的修正Camassa-Holm方程的解.第五章,我们研究了随机化初值且周期边界条件的随机高阶Camassa-Holm方程的Gibbs测度.Gibbs测度是将一类色散方程的局部解延拓到整体解的有效工具.也就是说,当我们得到在一个测度紧支集上的局部解的存在唯一性时,希望通过局部解的延拓得到整体解的存在性(但不一定具有唯一性).Gibbs测度在某种意义上补偿了低正则空间的守恒律的缺失.在本章中,我们首先基于文献[92,93]的思路和框架构造了低正则Sobolev空间上的Gibbs型有限Borel测度,而后利用Prokhorov紧性定理,Skorokhod收敛定理以及Gibbs测度,建立了方程整体解的存在性.

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关键词：

流体力学 随机偏微分方程 噪声驱动 适定性 数值解 存在性

学位级别：

博士