节1.6 极限运算法则

§1.6  极限运算法则

极限语言只能证明极限，不能求极限。对于简单函数的极限问题，可以先用观察法看出其极限，再用极限语言加以证明，但对于一些形式复杂的函数，就不太容易观察出它的极限。

因此，研究函数极限的运算法则，便十分的必要。

【声明】

1、在下面的讨论中，只给出函数极限的运算法则，这些法则可相应地移植到数列极限。

2、在下面的讨论中，若下面未标明自变量的变化趋势，表明对及均成立的。

【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。

【证明】考虑两个无穷小之和的情形。

设 及  均是当 时无穷小， 而 。

依无穷小的定义， 有:

只要取，有

这表明 是当  时的无穷小。

必须指出:  无限个无穷小之和不一定是无穷小。

【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界

设  是当 时的无穷小。

下面证明  是  时的无穷小

依函数有界的定义，有:

依无穷小的定义， 有:

取  ， 从而

这表明， 是  时的无穷小。

【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。

【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。

有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?

表面上，这一问题的答案是显然的，即:是无穷小。 其实却不然，因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。

【定理三】(极限运算的分配律)

若 ，，则 存在，且

。

【证明】因 ， ， 由极限存在与无穷小的关系定理有:

     (  是无穷小 )

于是     

由定理1，是无穷小;

由定理2的推论1， 是无穷小，

再由定理1，是无穷小;

总之，是无穷小。

利用极限与无穷小的关系有

高等数学中还有许多类似的性质，为此，我们对这一性质专门给出几点注解。

(1)、和均存在，则 存在。

(2)、若存在，不存在，则不存在。

【反证法】记 ， 假设  存在

而   或 

由于  与  均存在，据【定理三】有:

 亦存在。 这与条件产生矛盾，故 不存在。

(3)、 与  均不存在， 则 可能存在， 也可能不存在。

【反例】设  ， ，显然， 与均不存在

但是                    存在，

而                        不存在

【定理四】

若，，则  存在，且

。

定理四也有与定理三完全相同的四点注解，它还有两个重要的推论。

【推论一】

若存在，为常数， 则 。

【推论二】

若 存在，为正整数，则。

【定理五】

若，，且，则 存在，且

对商的极限运算法则， 应注意条件:

(1)、极限  均存在。

(2)、作分母的函数  的极限 。

当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。

【定理六】

如果 ， 而  、， 则 。

【证明】 作函数 ， 且 。

由极限的保号性有:         ， 即

故   。

必须指出：即使不等式  严格成立， 结论仍然是，不可以认为是 。

例如：、表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而表示圆的面积。

显然， ，但 。

运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。

首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:

设  是任意实数，则

【例1】

此极限可作一般性的推广：

【例2】    

可对此例作一般性的推广:

设  是有理分式函数， 与 为的多项式，若 ， 则 。

【证明】由定理5与例1， 有

【例3】 求  

【例4】  

对于有理分式函数，当时，不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：