数学分析第九章《定积分》备考指南

伟大的无产阶级革命导师马克思认为，理论研究是为了实践需要。数学理论的提出和发展，总是有实际问题作为原始的推动力。比如，物理上，变力做功问题如何解决？几何上，很多特殊的平面图像的都有相应的面积公式，大家熟悉的矩形，平行四边形，梯形等。如果现在把梯形的一条边变成曲线，那如何求曲边梯形的面积？

围绕上述的几何实际问题，整个第九章的理论就变得有血有肉，不再显得空洞抽象。没有公式，于是，立即创造曲边梯形的面积公式！这也是数学强大生命力的具体表现。

同学们首先要明确问题本身的提法：设函数f在[a,b]上非负连续，计算由x=a,x=b，y=f(x)以及y=0(即x轴)所围成的封闭图形的面积！下面给出定积分的严格的分析定义。

对于注1中的极限式（4），同学们从以下四个角度深化理解：

1 很多高等数学的教材中简化了定积分的定义，把（4）式中的‖T‖→0，而直接写成n→∞去替代。公共数学的角度这样是可以的，但作为数学专业，我们必须明确，这种替代是不严谨的，因为n→∞时不能保证‖T‖→0，而‖T‖→0时必定同时有n→∞。 2 极限（4）的存在，与分割T的形式无关，与点集{克森i}的选择也无关。唯一重要的是分割的细度‖T‖，当‖T‖足够小时，总能使积分和（也称黎曼和）与某一确定的数J无限接近。反之，如果能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，那么就可断言该函数在所论区间上是不可积的。例如狄利克雷函数D(x)分别取有理点和无理点，得到的黎曼和不同，所以D(x)在［0，1］上不可积。

3 如果已知函数f在[a,b]上可积，那么对于每个特殊的分割T，以及点集{克森i}的每种特殊选择，所得的那个积分和，当‖T‖→0时必以f（x）在[a,b]上的定积分值为极限.

4 定积分作为积分和的极限值，如果存在，则唯一。故它的值只与被积函数

f以及积分区间［a，b］本身有关，而与积分变量所用的文字无关，即

定积分的定义是分析中较复杂的一个定义，理解了它，就理解了几乎整个积分家族（尤其是重积分，第一型线积分，第一型面积分）。而如果用定义去计算曲边梯形的面积，显然是不现实的，我们需要牛莱(Newton-Leibnitsz,简记为NL)公式！

同学们对牛莱公式比较熟悉，而往往是我们熟悉的人或事，却常常会忽略ta的美和特质!原本要解决的是，曲边梯形的面积问题，即函数在整个闭区间[a,b]上的积分，而牛顿和莱布尼茨却把这个问题归结为闭区间的边界，即两个端点处的问题。NL公式是最人类伟大的公式，没有之一（只是个人主观评价哦）！而下册的格林、高斯公式都是NL公式的高维形式（后面详谈）！

定理9.1的条件实际上是比较强的，教材也给出了详细的削弱,大表哥列举部分。

注2告诉我们，可将连续削弱为可积，那么问题又自然而然地来了，函数f在什么条件下是可积的？于是紧接着讨论可积条件！

大表哥这里顺带科普下数学的一个套路。数学上讨论某对象存在的条件，即考虑它存在的充分条件，必要条件，充要条件！比如第二章讨论数列极限存在的条件（充分条件：单调有界；必要条件：极限唯一；充要条件：柯西收敛准则），第三章讨论函数极限存在的条件等等都是如此！

可积的必要条件有：

可积的一个必要条件和三大充分条件都是比较好操作的，因为函数的单调性、有界性、连续性都是容易验证的。例如下面的分段函数是单调递增的，从而在[0,1]上可积。

但理论上，数学家们更喜欢充要条件！

可积的充要条件：

这些充要条件的证明，技术难度较大，要借助达布上和下和以及相应的性质才能完成！如果你的目标院校是985、及部分211（数学有博士点的），请同学们复习的时候认真琢磨充要条件的结论本身及证明过程！当然，还有必要条件、充分条件的结论本身及证明过程！这些理论都是典型的分析语言、分析模式、分析套路，是个人段位提升的最好训练营地！

教材上再次涉及到了黎曼函数，请同学们务必给予黎曼函数高度重视！如下

黎曼函数在［0，1］上可积，然而并不能通过简单地验证单调性、有界性、连续性（可积的三大充分条件）加以证明，需要用可积准则证明。

例3的难度，达到了考研证明题20分的标准，请同学们仔细体会证明中如何找到分割T的细度‖T‖,尤其把握m小于等于2k这个细节！

黎曼函数在［0，1］上可积，并的例子在分析中有重要作用，说明可积函数也可以有无限多个不连续点。

如果我们的思维再研究生一点，把上述例子一般化，考虑这么一个问题:一个有界函数在［a，b］上所具有的间断点究竟多到何种程度时，会导致它的积分不存在！这也为后继课程实变函数（实分析）中引入“勒贝格测度（Lebesgue Measure）”埋下了伏笔。大表哥尝试用可积第三充要条件来解释,

即如果f在［a，b］上的所有间断点放在一起，其总长度小于任意小的开区间的长度，则f在［a，b］是不可积的。同学们可对比照狄利克雷函数与黎曼函数的可积性来加以体会。

大表哥啰嗦下，数学分析复习到第九章，你应该有点知觉了，盘点下重要的、大的结论：数列极限存在的单调有界原理、柯西收敛准则、函数极限的海涅归结原理、柯西收敛准则、闭区间连续函数的五大性质、泰勒定理、实数的完备性定理，尤其第七章较晦涩，大表哥心疼你，说如果觉得太难，可以先缓缓。而第九章，可积性理论，大表哥不敢再心疼你了，如果遇到麻烦点的，我们跳过去，遇到棘手点的，我们缓缓，这样的修行过程，注定了败局。如果做一件事让你很痛苦，恭喜你，这件事是有意义的！关于本章可积的条件，尤其教材打星号的第六小节《可积分性理论补叙》，请同学们系统的复习！

定积分的存在性彻底解决了，接下来自然而然要揭示定积分的性质！

由于定积分的本质仍属于函数极限的范畴，所以性质中也保留了函数极限存在的性质，比如性质1，2，3，4可归结为保持四则远算法则，5,6属于保不等式性质。这六个性质本身不难理解，但其证明同学们要认真体会，尤其性质3，性质4的证明，达到自己看过几遍之后会证的程度！

三大中值定理，在处理抽象函数的定积分和估算不等式时，有着较广泛的应用。积分第一中值定理的几何意义明显，即中小学“割补”的思想！而函数乘积形式的中值定理，是第一积分中值定理理论上的推广，当g(x)=1时，即为积分第一中值定理。积分第二中值定理的证明，综合难度较大，同学们可以尝试着读阅，不必深究，达到看懂的程度即可！

当函数的可积性问题完全搞定，定积分的性质也充分地揭示出来，意味着理论根基已经基本建立，剩下要解决的问题，即定积分的计算！毫无疑问，牛莱公式是计算定积分的首选神器。

而NL公式条件假设f在[a,b]上连续，且存在原函数F,那么问题又来了？如何保证原函数的存在性?于是，嘻嘻

原函数存在定理沟建立了微分和积分之间的内在桥梁，沟通了两个看似不相关的对象之间的深刻本质关联。它告诉我们“连续函数必存在原函数”这一重要的基本事实，并以积分的形式给出了函数f的一个原函数。该定理也誉为“微积分学基本定理”。同学们回忆下我们学过的定理，定理前面一般有个人名，即版权所有者，而不管是谁发明的定理，哪个定理敢称为“基本定理”？？利用原函数存在定理，还可以大大地简化牛莱公式的证明，如下：

保证原函数存在的时候，我们就可以当心大胆地把它找出来！那么定积分的计算问题，其核心技术就相当于求原函数，即求不定积分！

同学们需要注意定积分的换元积分法，在形式上和不定积分的微妙区别。大表哥从以下两个方面加以区别:

上述两种解法，不管是第一换元法还是第二换元法，最后都做了变量还原！

而定积分的计算结果是一个确定的数，如果等式

一边的定积分被计算出，则另一边的定积分亦是同样的值。所以，定积分在使用牛莱公式时，可以直接在新的积分（即换元之后）区间上求差计算，而不必还原。

2 定积分的换元积分法依赖于积分区间，换元之后下限对应下限，上限对应上限。还要注意所采用的换元，在所求的积分区间上是否可行，更确切地说，要保证换元的函数是一个严格单调函数。而不定积分在求原函数时，并不深究换元所在的区间，至于结果是否正确，可通过求导来检验（定积分则失效）。再给个简单的例子，同学们自行体会！

定积分的计算过程中，还会用到一些特殊的结论，比如函数的周期性、奇偶性、变量

替换等。

注 以上的例6 例7选自同济大学数学系编写的《高等数学》第七版。两例的结论同学们可以选记（大表哥建议记住例7，例6不记）！

华东师大的教材《数学分析》上的例6--华莱氏公式（注：不是华莱士快餐那个），是同学们必须要掌握的！

利用华氏公式，可以推出沃利斯（Wallis）公式

沃利斯公式揭示了无理数派与整数极限之间的非常神奇的关系！

本章的内容较多，同学们可能要耗费较大的精力认真备考，文中大表哥非常明确地（具体到知识点）给出了复习所要达到的广度、强度、深度！大表哥在写这个指南的时候，也耗费了很多的精力，希望同学们认真阅读本章的复习指南，我相信，对同学们一定有所帮助！如果你觉得好，并且方便，请扩散给你身边的同学，咱们共同进步！你们的转发、点赞和收藏，是大表哥更新的最大动力！

PS:定积分的“定”字包含两层意思：1 区间有限；2 被积函数有界。

在国外的教材中，定积分=“Proper Integral”。如果否定“定”两个条件（或其中之一），就变成了“Improper Integral”，按国外原汁原味的写法，“Improper Integral”是不是应该翻译成“不定积分”？这样显然与第八章不定积分的含义发生了冲突。从数学逻辑的角度，“定积分”应翻译成“正常积分”，从而更好地与“反常（不正常）积分”相呼应！大表哥不想标新立异什么，只是谈一点点自己的感想！同时对清末状元李善兰（他翻译的）先生致敬！

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