积分上限函数求导总结

d d   x ∫ 0 x f ( t ) d   t = f ( x ) \frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x) dxd​∫0x​f(t)dt=f(x)

d d   x ∫ 0 g ( x ) f ( t ) d   t = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) \frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x) dxd​∫0g(x)​f(t)dt=f(g(x))g′(x)

d d x ∫ 0 x f ( x − t ) d   t = 令 u = x − t = d d x ∫ x 0 f ( u ) d   − u = d d x ∫ 0 x f ( u ) d   u = f ( x ) \begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned} dxd​∫0x​f(x−t)dt​令u=x−t =dxd​∫x0​f(u)d−u=dxd​∫0x​f(u)du=f(x)​ 不是每一道题都要像此处令 u = x − t u=x-t u=x−t，应根据实际情况做适当换元。

d d x ∫ 0 x t f ( 2 x − t ) d   t = 令 u = 2 x − t − d d x ∫ 2 x x ( 2 x − u ) f ( u ) d   u = d d x 2 x ∫ x 2 x f ( u ) d   u − d d x ∫ x 2 x u f ( u ) d   u = 2 ∫ x 2 x f ( u ) d   u + 4 x f ( 2 x ) − 2 x f ( x ) − 4 x f ( 2 x ) + x f ( x ) = 2 ∫ x 2 x f ( u ) d   u − x f ( x ) \begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned} dxd​∫0x​tf(2x−t)dt​令u=2x−t −dxd​∫2xx​(2x−u)f(u)du=dxd​2x∫x2x​f(u)du−dxd​∫x2x​uf(u)du=2∫x2x​f(u)du+4xf(2x)−2xf(x)−4xf(2x)+xf(x)=2∫x2x​f(u)du−xf(x)​

d d x ∫ 0 3 x 2 ln ⁡ t + x 2 d   t = 令 u = t + x 2 d d x ∫ x 2 4 x 2 ln ⁡ u d   u = 8 x ln ⁡ 2 x − 2 x ln ⁡ x \begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned} dxd​∫03x2​lnt+x2 ​dt​令u=t+x2 dxd​∫x24x2​lnu ​du=8xln2x−2xlnx​

除此以外，还可以使用一个更加 牛逼 复杂的一个公式，具体可看下文

含参积分求导/积分上限函数求导/

2022年2月24日17:26:15