【黄秦安】本体论视域下数学实在论的嬗变与评述

数学本体论是数学哲学的首要研究问题，也是历来争议较大的数学哲学话题之一。历史上曾形成了不少关于数学本体论的传统见解，20世纪以来，随着绝对主义数学观的衰落，关于数学本体论也有了许多新的认识。然而，由于数学本体论问题自身的复杂性，加之研究者各自不同的视角和立场，致使关于数学本体论的认识难有一致的意见。因此对各种纷繁复杂的文本和观点进行一些梳理就显得十分必要。

一　数学本体论的柏拉图主义与新康德主义

在数学本体论的各种具有影响的传统观念中，主要有由来已久的柏拉图主义和康德主义。柏拉图主义者相信数学是独立存在于人类思维和认识之外的某个理念世界的。进入19世纪，数学知识的演变呈现出许多新的形式，柏拉图主义数学理念以各种变式呈现。数学家埃尔密特在给数学家斯蒂杰斯的一封信写道：“我相信，数和分析中的函数不是我们精神的任意产物，它们在我们之外存在着，并且和客观实在的对象一样，具有某种必然性的特征。我们找到或发现它们、研究它们，就和物理学家、化学家及动物学家所做的事情一样。”[1]332集合论的创立者康托尔也认为数学家的工作是发现而不是发明。而被发现的数学是独立于人类思想之外的。

英国著名数学家哈代可以看做是20世纪数学客观主义的代表人物。1929年，哈代在一篇文章中写道：“在我看来，如果一个数学家不以这种或那种方式承认数学真理的不变性和绝对正确性，那就不会有一种哲学同情他。数学理论是对是错，它们的真理性或谬误性是绝对独立于我们对它们的认识的。在某些意义上，数学真理是客观现实的一部分。”[1]332在《一个数学家的辩白》一书中，哈代也声称：“我认为数学的实在存在于我们之外，我们的作用是去发现它或观察它，那些被夸张地描述成我们的‘创造物’的定理，仅仅是我们观察的记录。”[2]哈代的观点本质上是数学实在论的典型体现。

与柏拉图主义不同，康德主义相信数学是人类理性、直觉与思维的产物。其特点是否认或贬低数学的经验性质，而特别强调其先验性质。在1836年，四元数的发明者，英国数学家哈密尔顿就提出：“代数和几何这些纯数学化的科学，是纯粹理性的科学，其从经验中取之甚少，它是孤立的或者至少是孤立于外部世界的偶然现象……它出自于我们内心的思想。拥有它们只是我们先天能力的结果，是我们特有的人性的展现。”[1]331

英国数学家凯莱在1883年的一次演讲中说道：“我们……拥有先验知识，它不仅不依赖于某一经验，而且独立于一切经验……这些认识是思维对于经验的解释作出的贡献。”[1]331戴德金在一封信中谈到：“我们通过数所理解的并不是事物本身，而是一种新的东西……它是思维所创造的。我们是上帝的儿子，我们拥有……创造的能力。”[1]334其他还有像数学家维尔斯特拉斯、哲学家维特根斯坦都表达了数学是人类创造物的思想。以布劳威尔为代表人物的直觉主义者所坚持的也是一种基于人类直觉的数学观。

在一般哲学中，被称为新康德主义的哲学学派也试图给出自己关于数学的见解。在20世纪初，新康德主义曾在德国哲学中占据统治地位。[3]100其代表人物有卡西雷尔(Cassirer)、那托普(Natorp)和科恩(Cohn)。新康德主义采纳康德的基本原则并力图超越之。与罗素数学哲学思想的论争是新康德主义思想的一个重要组成部分。基于把数学划归为逻辑的主张，罗素在其逻辑主义的构造中排除了康德赋予数学的直觉因素，而卡西雷尔和其他新康德主义者不同意罗素的逻辑主义观及其对康德数学哲学的批评。总体上，尽管对罗素的关系运算予以赞扬，新康德主义并没有给数理逻辑以很高的评价。新康德主义特别对罗素把未定义概念和未证明命题作为逻辑的基础提出批评。[3]108

新康德主义也赞成数学的观念应该建立在某种逻辑基础上，但其逻辑基础观念是不同弗雷格和罗素的。一个重要区别是新康德主义者关于逻辑这一术语的理解与以罗素为代表的逻辑主义者十分不同。具体看来，首先，罗素认为数学的逻辑基础可以通过数理逻辑加以构造，而新康德主义者则相信可以借助于先验逻辑来构造数学的逻辑基础。其次，尽管新康德主义认为数学应该建立在某种逻辑基础之上，但数学与逻辑这两门科学应该严格区分开来。而逻辑主义纲领却将两者的划界给抹煞了。[3]109新康德主义尤其对逻辑主义者把数定义为关于类的做法提出了批评。认为从类的概念导出数概念是以待解决的问题为根据的(petitio principii)，换句话说，在类概念中已经预设了数概念的存在。

那么，新康德主义的数概念是如何建立的呢?卡西雷尔把其数理论建立在对于自然科学和数学中概念的分析基础之上。通过分析，卡西雷尔认为在自然科学和数学研究过程中，物概念被关系概念取代是一个突出特点。按照卡西雷尔，数概念是通常合理方法的第一和最真实的表述。而数不仅是纯粹思想的产物，还是真实原型的产物。“连续序列的原则”(the principle of serial order)可以在顺序数的序列中找到其最初和基本的表述。数和数学的可能性依赖于纯粹理解的创造性综合的假设。进而，在卡西雷尔看来，数学可以被定义为次序的科学。[3]112

那托普把数看做最纯粹和最简单的思想的产物。那托普认为，对数的逻辑理解的第一个前提是要洞察到数与任何存在物毫无关系而只与思想的纯粹规则性有关。对思想而言，没有任何东西比思想本身的综合统一和关系的安置更为基本。在科恩那里，自然数是可能的最抽象的对象。任何可思考的事物都可以是一个对象，每一个对象都有两个要素：思维形式和客观性。思维形式属于任何对象，科恩称之为“安置”(positing)，可以描绘为任何事物都由自身所确定。而与对象的思维形式相比，任何个体对象的客观性都是某种新的和外来的东西。对自然数来说，它是具有确定性思维形式并具有最少的客观性的对象。科恩认为自己的自然数理论预设着任意对象形成的可能性，即构造任意多的对象的可能性。[3]112-113

二　数学实在论的复兴：奎因和普特南的“物理主义”与哥德尔的“新柏拉图主义”

随着逻辑实证主义的衰落，哲学家们试图构造一种新的科学哲学，并期望它既不是形而上学的，同时又避免逻辑经验主义原则的错误。一种“新柏拉图主义”的数学实在论是值得注意的，“其中有两种倾向，一是以奎因、普特南为代表，另一个是哥德尔为主要代表。”[4]1130

奎因因持有一种“科学整体论”的思想而闻名。“奎因指出，就科学理论的检验而言，我们不应就各个孤立的命题去进行考察，而应把全部科学看做一个整体。”[5]76这种“科学整体论”的思想自然也包括数学，奎因认为：“对于现象论来说，根据严格的物理主义的概念体系……柏拉图主义的本体论……就像物理主义的概念体系本身一样是一种神话。然而，到目前为止，这种高级神话在我们简化物理学的说明方面是完善的和有效的。”[6]76-77

普特南持有与奎因几乎相同的见解：“对于科学来说，数学本体是不可缺少的。……这允许我们接受数学实体的存在。当然，这种论证导源于奎因，他多年来强调数学实体的不可缺少性，同时也强调了否认人们日常预设的东西存在的理智的不诚实性。”[6]77

普特南的数学实在论思想是其整个科学实在论思想的一个有机组成部分，是其科学实在论思想在数学领域中的推广和深化。其基本特点就是经验实在论。但普特南既不是一个传统实在论的本体论者，又不是一个逻辑经验主义者和纯形式主义者，而是力图把实在论和经验主义加以结合。在对数学的认识中，普特南表达了对于数学真理客观性的直接肯定。

普特南认为，数学的客观性应当由数学的实在论加以解释。由于大部分的数学概念都可以借助于集合的概念得到定义，普特南就把那种直接肯定了数学对象存在性的观点称为“关于数学的集合—对象观点”。由于“集合—对象观点”基本上是一种柏拉图主义的本体论，因此普特南并没有简单地予以接受，而是发展起了所谓的“关于数学的模态—逻辑观点”。“按照这种观点，数学并不具有自己的特殊对象，而只是借助于特定概念对普遍事物的研究。这也就是说，‘数学根本不具有自己所特有的对象。你可以就你所乐意讨论的任何对象——雨天、纸上的痕迹、图像、直线或球体——去证明定理……数学家并没有作出任何存在性的断言，而只是表明什么是可能的，什么是不可能的。’显然，按照这样的观点，数学在本质上就是模态的，而非描述性的。”[5]79普特南认为这样就彻底地解决了数学的本体论问题。与柏拉图主义的实在论相比，普特南的经验实在论只是肯定了数学的客观性，而没有对数学对象的实在性作出任何断言。

当奎因和普特南把数学实在论观念以及数学实在的存在性和合理性建立在物理学和科学的实在性基础之上时，同时留下了一些理论疑难。第一，否认了数学与一般科学(如物理学)的本质差异。这也就是奎因科学整体论的理论疑难之一。第二，通过转换，数学的实在论问题被化解为科学的实在论问题。但科学的实在论问题却依然没有获得很好解决。第三，数学自身的实在性问题有时候并不能被转化为诸如物理学的有效性问题。因为相当一部分数学知识并不具有物理学的和经验的背景。这部分数学实在性问题就成了经验实在论的一个认识盲点。

与奎因和普特南的做法相反，“哥德尔式的柏拉图主义是从研究数学的数学家的实际数学经验出发的……哥德尔指出，我们的基本的数学假设，公理，经常‘强迫我们接受它们为真’。”[4]1133所以，在哥德尔看来，作为数学基础的集合论的基本公理是直觉地明晰的。哥德尔认为：“对于集合的假设就像对物理客体的假设一样，是十分合理的，也同样存在着充分的理由去相信它们的存在。在一定意义上讲，获得一种令人满意的数学实体是必然的，正像对于一个令人满意的感觉理论来说，物理客体是必然的一样。”[6]77但是，与奎因和普特南诉诸物理学的企图形成鲜明对比的是，“哥德尔给予纯数学的辩护形式——直觉上的自明，证明，数学之间的外部辩护——以充分的信任，并且直觉力的确符合初等数学显见性。”[4]1135

数理逻辑专家王浩写道：“按哥德尔的说法，‘数学实在主义者’就是那么一种人，他认为数学客体是独立于人的构造也独立于个人对它们具有的直觉而存在的，同时他只要求一般数学概念清晰得足以让人能辨别它们的健全性又能辨认有关它们的公理的真实性。”[7]哥德尔特别喜欢用数论和集合论去阐明其基本立场。对于集合和集合论，哥德尔认为：“在我看来，假设这样一种实体与假设物理实体一样合理，并且有同样多的理由相信它们是存在的。”[1]332如果我们注意到哥德尔的数学思想曾受到了莱布尼兹单子论的影响，就会更好地认识哥德尔数学观的形而上学特征。而如果我们知道哥德尔也曾试图给出上帝存在的一个本体论证明，[7]270就会对其概念实在主义的本质有进一步的体会。

著名数学家魏尔在《数学和自然科学的哲学》一文中对哥德尔的数学逻辑观念提出了批评，并表达了数学基础具有动态性的观点：“哥德尔绝对相信先验逻辑。他喜欢认为我们的‘逻辑透镜’有点散焦，他希望在略加调整之后我们会看得清楚，那时，每个人都会同意我们看到的是正确的。但是不具备他这种信念的人则会被策梅罗系统，甚至希尔伯特系统中的高度武断所困惑……对于满足现有精巧数学实验的测试的简单公理系统，我们应该感到满意，即使以后出现不一致时，改变基础也为时不晚。”[1]334-335

察哈拉(Chihara)则对哥德尔的把数学实体的存在性与物理对象的存在性放置在平行位置的做法提出质疑。察哈拉争辩说：“哥德尔并没有表明两种情形(即数学对象存在与物理对象的存在，本文作者注)具有同样的强度，因而，哥德尔并没有建立起充分的理由让人相信在其中一种情形成立就意味着在另一种情形也成立。”[4]1135更进一步，察哈拉还认为：“为了解释数学直觉和论证的经验，并不需要数学实体的存在性。”[4]1135由于哥德尔是把对数学对象和数学直觉的意义建立在与物理对象和感性经验相类比的基础上，因此，哥德尔的数学实在论的落脚点就很自然地放在对于基本公理和假设的直觉信仰之上，而其他的数学结论则可以从这些基本假设和公理推导出来(当然不是所有的)。这种直觉实在论其实就已经表明了数学的实在性并不具有完全可靠的基础，而是某种直觉信仰。[5]85而这其实也就是哥德尔的数学本体论与传统的柏拉图主义的一个主要区别。

三　玛戴的数学集合论实在论与达米特的语义(反)实在论

20世纪下半叶以来，出现了一些新的有代表性的数学实在论的观点，主要包括玛戴(Maddy)倡导的数学集合论实在论、达米特(Dummitt)的语义实在论、比格洛(Bigelow)的“普遍关联”的实在论、古德曼(Goodman)的实践的实在论。[6]77-83这里重点对前两种加以分析。

玛戴倡导的数学集合论实在论，是一种折中的柏拉图主义立场。这种实在论将“集合”看做是数学本体的基本实在，并且通过对“集合”进行物理实在的还原解释，从而获得对数学本体论的一种自然化的说明。玛戴的基本观点源自于对负数与复数的出现给数学存在所带来的严峻问题，直到高斯在1831年给出了复数的几何解释，复数的命运才发生转机。然而，不幸的是，把几何作为数学存在的仲裁者角色的看法由于非欧几何的出现而被改变，人们看到了欧式几何推理的缺陷。之后，人们又将目光转向了算术化，并进而导向了集合论。这样，玛戴就肯定了集合论作为一种探寻数学存在逻辑路径的合理性。

玛戴在对其集合论实在论的论证中特别引述了哥德尔的判断：“对那些认为数学对象独立存在于我们的构造以及个体具有的对它们的直觉的人来说……我相信，康托的集合论提供了这样一个令人满意的基础。”[8]因此，玛戴的数学集合论的实在论与哥德尔的客观主义有很深的渊源。正如玛戴自己承认，他所倡导的是一种妥协的柏拉图主义。“我把数学在应用中的成功看做是给予我们把数学看做是一门科学的最好理由，并且一种双层的哥德尔认识论提供了我们认识数学科学真理性的最好解释……我坚持一种直觉的感知模型……我认为直觉是无中生有的。因此，直到哥德尔滑向传统的数学对象明显不属于物理世界的柏拉图主义观念之前，我一直都是紧随哥德尔的。哥德尔这种向传统思维的不幸的回溯注定了其直觉解释的软弱无力。”[4]1139

与哥德尔不同，玛戴所设想的是伴随着物理实在的数学实在图像，“我们对物理对象集合的感知与我们对对象本身的感知很相似。当儿童期的经验过程和与进化相适应的脑部结构相互作用时，这两种能力就逐步发展起来了。构成这一发展的神经生理上的变化也会产生极为一般的诸如关于这些事物种类、关于物质对象空间占有特征以及集合组合性的信念。这些我称之为直觉的信念，就构成了最简单和最基本的我们关于物理和数学科学的假设，这些假设促使我们相信其为真。但是，这些基本假设也必须面对外部理由的审视，在那里无限的理解和同时性均最终失效了。两种科学更多的理论收获得到了大多数或者全部的外部支持。”[4]1140

由于玛戴把数学的外部理由的角色描述和解释看做是其妥协的柏拉图主义的最重要问题，因此数学的实际实践和发展就需要给予更多的关注。玛戴赞成基切尔的代表数学合理进步的关于数学演变本质的研究，一般而言，亦即回到数学的历史和实践。[4]1141而这样的倡导就又与赫斯等许多数学哲学家所主张的数学哲学研究范式殊途同归了。

与上述各种实在论立场不同，达米特关于数学实在论的观点颇具新意。在哲学上，达米特持有一种颇令人困惑的哲学观点。例如关于达米特是实在论者还是反实在论者，都一直存有争议。[9]在国内，有些学者称之为语义实在论[6]81，也有称之为语义反实在论[10]。在国外，学者们关于达米特的实在论与非实在论立场的定位也是有争议的。例如，霍里奇(Horwich)就声称，“像普特南和达米特这样的学者是倾向于把两种形式的实在论，即语义实在论和形而上学实在论予以合并的。”[11]但较多的学者倾向于认同达米特是持有反实在论立场的。

事实上，实在论与非实在论以及反实在论各自的涵义以及相互之间的界限有时候并不是那么泾渭分明的。例如，当实在论的意义被前置了“语义”这一定语之后，实在论本身的涵义也就发生了变化甚至转化，这是因为实在的概念在其原初的意义上是与语言(包括语义)相对立的。因此，语义实在论(semantic realism)这一称谓本身就蕴涵了一种不同于一般实在论的含义。而语义反实在论(semantic anti-realism)的称谓其意义就较为明确。而语义实在论和科学实在论的概念是否能够被置于同一级的逻辑语境之下，也是需要探讨的。但无论如何，达米特是把实在论问题看做或者说是转化成为一个语义学论题加以论述而著称的。[12]对达米特而言，“哲学的目标就是对思想结构的分析。”[13]这当然是分析哲学的一贯立场了。

达米特的语义(反)实在论可以看做是逻辑主义者，尤其是弗雷格哲学观点的一种发展，其中还渗透着很浓重的直觉主义逻辑(比如达米特在直觉主义的真值条件逻辑中嗅到了反实在论的味道)、分析哲学和维特根斯坦的色彩。在对数学的看法上，达米特“继承了弗雷格的语义实在论的传统，认为离开了语义的分析，数学哲学的研究是寸步难行的。因为，对于数学本质的解释是语形和语义分析的统一，任何一个形式表征的客观意义都是通过分析而语义地给出的”。[6]81而“数学的实在性不是简单的形而上学的断言，而是对数学语言进行语义分析的结果。比如，当确定了一个数学理论的量化域的基本概念(如实数)时，就必须同时具有一个其应用的标准和一致性的标准。这两个标准作为逻辑的和本体论的统一，就是通过语义分析而给出的。因为，实数作为一种特定的数学实体被确定，与其相关的两个标准一旦被给出，覆盖实数的量化陈述就可全部被确定地给出真或假；而要实现这一点，就须要求作进一步的阐释，以某种方式去划定实数的整体界域，并给出如何看待实数性质的理由。所以，实数作为一种确定的数学实体被认可，以及逻辑地给出它的域解和本体论性地给出它的特性阐释，都是与语义分析方法密切关联的。否则，无论是单纯的本体论的存在断言或纯粹的逻辑形式分析，都无法给出实数的整体实在性意义”。[6]82

因此，达米特就细化了数学本体的层次，例如达米特就认为：“承认数、集合等等的实在性，与一个具体数学陈述的真假不同；承认数、集合等等的实体性与承认它的‘语义值’也不等价。”[6]83达米特建议，为了避免成为机械的对应实在论者和唯名论的形式主义者，就“要从句法的、语义的和语用的整个关联中，去对数学陈述作认识论的把握。”[6]83这当然是一个有趣的且可以深入探索的话题。

四　评述

虽然有上述种种具有代表性的数学实在论的观点，但仔细考察，似乎还不能断定那一种观点就占据着本体论视域下关于数学实在性的话语中心。特别是，注意到在当代数学家中，古老的柏拉图主义或其变式仍有很大的市场。而(新)康德主义在赋予数学知识以人类直觉的色彩时候，又同时把这种知识赋予了一种先天性。因此，就其本源而言，柏拉图主义与康德主义之间也有某种相似性，这就是两者都赋予数学知识(无论是这种知识来源于哪里)某种形而上学和绝对主义的本质。因此，我们有必要在对被赋予先验性质的作为人类创造物的数学与去除这种先验性的作为人类创造物的数学之间作出区别。对于康德主义和新康德主义的见解，如果去除其先验性质，那么作为人类创造物的数学的见解，是有其合理性的，但需要在论述和细节上给出更为精致的论述。而对于其各自坚持先验论的主张，我们是持否定态度的。

概括起来看，作为对柏拉图主义和新康德主义理论观点缺陷的直接克服和改造，奎因和普特南的“物理主义”与哥德尔的“新柏拉图主义”突出强调了数学实在中被前者忽略的特性，这就是数学的经验、物理学甚至直觉背景，这种具有经验和直觉背景的数学实在论对于全面认识数学实在是不无裨益的。特别是，那种把数学知识的产生与人类的创造力联系起来，而不是像柏拉图主义那样认为数学是独立于人类认识的观点，更符合数学实在的本质。

然而，尽管数学与物理学和现实经验有着千丝万缕的联系，但数学毕竟不是物理学，数学也不是现实世界的刻板摹写，所以，奎因和普特南对经验、物理学在数学实在论中作用的强调有些偏离数学的知识本性，混淆了数学与经验科学的界限，数学实在的独特意义就在其中丧失了。而哥德尔对数学直觉的信赖，本质上是把数学实在的未解之谜转换为一个新的未解之谜，因此，也不能认为是提供了对于数学实在的较好解决方案。

玛戴的数学集合论实在论，力图用作为数学新的基础的集合论作为认识数学实在的出发点，其基本视域是一种去除了形而上学色彩的柏拉图主义，同时又凸显了数学实在的物理本性，因此，玛戴的数学集合论实在论可以看做是对奎因、普特南以及哥德尔观点的一种综合。

就玛戴的集合论实在论而言，其一，它的理论预设，即把集合论作为一种基本实在的观点是没有理由的。因为集合的概念和集合论的思想只是到19世纪末才被发明出来，根本不是某种与人无关的客观实在。其二，集合论也并不是数学的绝对不变的基础。认为集合论提供了这样一种基础只是一种一厢情愿的说法。从基础主义的危机和布尔巴基关于数学的结构主义论述中，我们已经看到，数学基础研究的淡化和作为整个数学基础的勉为其难。因此也不能认为玛戴的集合论实在论提供了对于数学实在的很好阐释。

达米特试图在数学实在论和反实在论之间寻求一种调和。其具体的理论路径是通过阐释数学模型相关性的一种网络(语义网络)、实现数学符号表征客观性的一种途径(语义途径)、提供了判定数学陈述合理性的一种标准(语义标准)并揭示数学本质的实在性意义的一种方法(语义方法)等多重功能，这些新的认识途径和创新点都是值得肯定的，特别是，达米特把数学实在问题的探讨深化到了数学符号学和语义学的层面，并试图建立一些具有数学固有属性的标准，对于寻求探索数学实在的新的研究路径有着较好的启发价值。

但达米特数学实在论的研究视角的缺陷也是明显的。作为20世纪著名的“语言学转向”的一个研究领域，语义学的视角并不能认为是观照数学实在问题的不二法门。毕竟，如果数学仅仅具有人类语言创造物的理论地位，就不仅不能解释数学的科学(包括自然科学、社会科学甚至人文科学)和其他人类知识中的价值，而且其自身的实在意义也需要予以重新阐述，而极有可能的是，数学的实在性意义是在数学的语义与语用的双重性构架以及两者的交互性中逐步获得的。因此，我们认为，达米特的语义(反)实在论仍需提供更强的辩护和更多的理论修正才能站得住脚，并结出更为丰硕的理论果实。

【参考文献】

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（原载《科学技术哲学研究》2013年3期。录入编辑：里德）