圆锥曲线极点极线应用篇6

观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.

——波利亚

圆锥曲线焦点的极线即为对应准线，准线的极点即为对应焦点，这是一组特殊的极点极线.焦准模型可以看成对称模型的特例，本篇图文主要给出焦准模型一些特殊问题.

首先，我们以椭圆为例，复习一下焦准模型的基本知识.

如上图所示，椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，P为椭圆右准线上任意一点，F为椭圆右焦点.我们知道，过P作椭圆的两条切线PA,PB，则AB过交点F，且PF⊥AB.

对焦准模型，考试中有如下与之相关的考查方法：

(1)过焦点F作焦点弦AB，求证椭圆在A,B处的切线交点P在相应准线上，且PF⊥AB；

(2)过准线上一点P作椭圆的两条切线PA,PB，求证直线AB过焦点F，且PF⊥AB；

(3)过焦点F作焦点弦AB，作直线PF⊥AB于F，交准线于点P，求证PA,PB为椭圆的切线.

焦准模型还有第四种考查方法——比例模型，我们会单独总结出来.

第一部分：证垂直.

【分析】(1)x²/4+y²/3=1;(2)椭圆上的点P处的切线与右准线交于点Q，根据焦准模型，PF2⊥QF2.

【分析】抛物线上的点P处的切线与准线交于点Q，根据焦准模型，PF⊥QF.

第二部分：证切线.

【分析】第二问中，P在椭圆上，Q在椭圆右准线上，且PF2⊥QF2，则根据焦准模型，PQ为椭圆的切线.

第三部分：证定点.

在第三部分，笔者要说明的证明定点问题，其实是极点极线概念的一个体现.如果动点在定直线上运动，则其切点弦始终过定点——定直线的极点.特别地，动点在准线上运动，则其切点弦始终过与该准线对应的焦点.反之也是成立的.关于这一点，笔者在《圆锥曲线的统一性（九）》一文中有比较详细的描述，不再赘述.

尽管本篇搜集的相关题目比较少，但读者很容易利用我们一开始给出的焦准模型基本原理命制数学题目，比如变换圆锥曲线类型，变换所给条件，不同形式的圆锥曲线解答题就可以命制出来.所以更大的发挥空间留给读者，不再赘述.

未完待续。。。

如果有什么谬误，欢迎指正.

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