极坐标系下速度及加速度公式及其推导

首先,我们有直角坐标系下质点位置的表示

\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} .

根据直角坐标与极坐标之间的转换公式,有

r=\sqrt{x^2+y^2}

x=r\cos \theta

y=r\sin \theta

则对于坐标系中每一点都可用r和θ来表示位置,记为 \mathbf{r}=\mathbf{r}\left( \theta \right)

对于坐标系中每一个点P,沿位矢方向和垂直位矢方向可以引出两个单位向量 e_{r} 和 e_{\theta} 。对于每一以P点为起点的矢量,我们都可以将它分解为沿 e_{r} 方向和沿 e_{\theta} 方向的两个分矢量之和。这为之后我们分解以P点为起点的矢量速度v和加速度a打下了基础。

速度的表达式为 \mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt} ,而 \mathbf{r} 可表示为 r\mathbf{e}_{\boldsymbol{r}} .r为关于位矢大小的函数,可记作 \mathrm{r}=\mathrm{r}\left( \mathrm{t} \right) , \mathbf{e}_r 为沿位矢方向的单位向量.

于是, \mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dr\mathbf{e}_r}{dt}=\frac{dr}{dt}\mathbf{e}_r+r\frac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\mathbf{v}_r+r\frac{d\mathbf{e}_r}{dt} .

所以我们现在已知 \mathbf{v}_r ,接下来要求 d\mathbf{e}_r .

在求 d\mathbf{e}_r 之前,我们不妨先来看一看 \Delta\mathbf{e}_r .

现有两个位矢P和P',它们之间的夹角为θ

两位矢对应的有四个单位矢量 \mathbf{e}_{\mathrm{r}} \quad \mathbf{e}_{\mathrm{\theta}} \mathbf{e}_{r}^{'}\,\, \quad \mathbf{e}_{\theta}^{'}

我们先来考虑\mathbf{e}_{r} 到 \mathbf{e}_{r}^{' } 的变化, \Delta\mathbf{e}_{r} 如图所示为δ矢量

将矢量\Delta\mathbf{e}_{r}沿 \mathbf{e}_{r}^{' } \mathbf{e}_{\theta}^{' } 方向分解得到矢量u和v.

\Delta \mathbf{e}_r=\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left| \mathbf{u} \right|\mathbf{e}_{r}^{'}+\left| \mathbf{v} \right|\mathbf{e}_{\theta}^{'}=\left| \Delta \mathbf{e}_r \right|\sin \theta \cdot \mathbf{e}_{r}^{'}+\left| \Delta \mathbf{e}_r \right|\cos \theta \cdot \mathbf{e}_{\theta}^{'}

当θ无限趋近于0时

\underset{\theta \rightarrow 0}{\lim}\left| \Delta \mathbf{e}_r \right|\sin \theta \cdot \mathbf{e}_{r}^{'}+\left| \Delta \mathbf{e}_r \right|\cos \theta \cdot \mathbf{e}_{\theta}^{'}=\left| \Delta \mathbf{e}_r \right|\mathbf{e}_{\theta}^{'}

同理,将矢量\Delta\mathbf{e}_{\theta}沿 \mathbf{e}_{r}^{' } \mathbf{e}_{\theta}^{' } 方向分解得到矢量u'和v'.

\Delta \mathbf{e}_\theta=\mathbf{u'}+\mathbf{v'}=\left| \mathbf{u'} \right|\mathbf{e}_{\theta}^{'}-\left| \mathbf{v'} \right|\mathbf{e}_{r}^{'}=\left| \Delta \mathbf{e}_\theta \right|\sin \theta \cdot \mathbf{e}_{\theta}^{'}-\left| \Delta \mathbf{e}_\theta \right|\cos \theta \cdot \mathbf{e}_{r}^{'}

当θ无限趋近于0时

\underset{\theta \rightarrow 0}{\lim}\left| \Delta \mathbf{e}_{\theta} \right|\sin \theta \cdot \mathbf{e}_{\theta}^{'}-\left| \Delta \mathbf{e}_{\theta} \right|\cos \theta \cdot \mathbf{e}_{r}^{'}=-\left| \Delta \mathbf{e}_{\theta} \right|\cdot \mathbf{e}_{r}^{'}

则可知

d\mathbf{e}_r=\left| d\mathbf{e}_r \right|\mathbf{e}_{\theta}^{'}=d\theta \left| \mathbf{e}_r \right|\mathbf{e}_{\theta}^{'}=d\theta \mathbf{e}_{\theta}^{'}

d\mathbf{e}_{\theta}=-\left| d\mathbf{e}_{\theta} \right|\mathbf{e}_{r}^{'}=-d\theta \left| \mathbf{e}_{\theta} \right|\mathbf{e}_{r}^{'}=-d\theta \mathbf{e}_{r}^{'}

则

\mathbf{v}=\mathbf{v}_r+r\frac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\mathbf{v}_r+r\frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_{\theta}^{'}=\mathbf{v}_r+r\omega \mathbf{e}_{\theta}^{'}=\mathbf{v}_r+\mathbf{v}_{\theta}

至此,我们得到了极坐标下的速度表达式.

加速度公式为 \begin{aligned} \boldsymbol{a}&=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}_r+\boldsymbol{v}_{\theta}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_r \right) +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{\theta} \right)\\ &=\underset{\text{莱布尼兹律}:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( f_1f_2\cdots f_n \right) =f_{1}^{\prime}f_2\cdots f_n+f_1f_{2}^{\prime}\cdots f_n+\cdots f_1f_2\cdots f_{n}^{\prime}=\sum_{i=1}^n{f_1\cdots f_{i-1}f_{i}^{\prime}f_{i+1}\cdots f_n}}{\underbrace{\left\{ \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \right) \right] \boldsymbol{e}_r+\left( \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} \right) \left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \right) \right\} +\left\{ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{\theta} \right) +r\left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \right) \right] \boldsymbol{e}_{\theta}+r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{\theta}}{\mathrm{d}t} \right\} }}\\ &=\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}\boldsymbol{e}_r+\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{\theta}+\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{\theta}+r\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\boldsymbol{e}_{\theta}-r\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2\boldsymbol{e}_r\\ &=\left[ \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}-r\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 \right] \boldsymbol{e}_r+\left( 2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+r\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} \right) \boldsymbol{e}_{\theta}\\ &=\boldsymbol{a}_r+\boldsymbol{a}_{\theta}\\ \end{aligned}

其中

\boldsymbol{a}_r=\left[ \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}-r\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \right) ^2 \right] \boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{a}_{\theta}=\left( 2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+r\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} \right) \boldsymbol{e}_{\theta}\\

至此,我们得到了极坐标下的加速度表达式.

我们不妨来解释一下加速度的组成.

首先, \mathbf{a}_r=\left[ \frac{d^2r}{dt^2}-r\left( \frac{d\theta}{dt} \right) ^2 \right] \mathbf{e}_{\mathrm{r}}\,\,=\left( a-\omega ^2r \right) \mathbf{e}_{\mathrm{r}} ,即径向加速度

前面的a是质点沿径向运动产生的加速度, 打个比方,你站在一个转盘上,转盘的中心是让转盘停止转动的按钮,而转盘外就是一个深深的坑,坑里是滚烫的岩浆,转盘的速度很快,你现在还能坚持不被甩下去,但过一会儿就不一定了,因此你唯一的生路就是趁现在还有力气,拼一把,冲到转盘中心,按下停止转盘的按钮.看看,你准备向中间冲了.你跑了起来,跑的越来越快.这部分加速度就是我们提到的a.而且因为你是向中心跑去的,r在这一过程中是变小的,因此 \varDelta r 是负值.

后面的 \omega ^2r 是所谓的向心加速度,再举个栗子,你拿着一根绳子,绳子的一头系着一块小石头,另一头被你紧紧拽在手心,你让这块石头放在了一张桌子上,不妨就让这是张木头桌子,你开始用力让这块石头围绕着你的手转起来,随着越来越用力,石头旋转的速度越来越快,你感受到的来自绳子的拉力也越来越大.对于小石头来说,这种来自绳子的束缚着它,让它旋转的力所产生的加速度就是这里的 \omega ^2r .我们不难看出,在旋转速度一定的情况下,这个加速度的大小由质点离旋转中心的距离r决定,也就是说,这是个由位置决定的加速度.

再来,我们看看 \mathbf{a}_{\theta}=\left( 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2} \right) \mathbf{e}_{\theta}=\left( 2\omega \upsilon +\beta r \right) \mathbf{e}_{\theta} ,即角向加速度

前面的 2\omega \upsilon 是质点沿径向运动产生的加速度,well,你肯定会疑惑,前面不是已经有了一个这样的加速度了吗?这当然没错,但是前面的a只是质点沿径向运动产生的加速度中的一部分,而这里的 2\omega \upsilon 就是另一部分.这很好理解,质点沿径向运动产生的加速度被分为了径向和角向两个分方向的加速度.这个角向的分加速度有个响亮的名字,科里奥利加速度

后面的 \beta r 同样,是由位置决定的加速度在角向的分量.

\text{综合上述分析},\text{我们可以看出},\text{加速度由两部分组成}: \\ \text{① 由质点位置决定的向心加速度}-\mathrm{\omega}^2\mathrm{r}\mathbf{e}_{\mathrm{r}}\text{和切向加速度}r\beta \mathbf{e}_{\theta}; \\ \text{② 由质点位移决定的位移径向加速度}\frac{d^2r}{dt^2}\mathbf{e}_{\mathrm{r}}\text{和位移角向加速度}\left( \text{科里奥利加速度} \right) 2\mathrm{v}\omega \mathbf{e}_{\theta}.

当然,写成叉乘形式就是

\text{由质点位置决定的向心加速度}\mathbf{\omega }\times \mathbf{v}_{\mathbf{0}}\text{和切向加速度}\mathbf{\beta }\times \mathbf{r}

\text{由质点位移决定的位移径向加速度}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}\text{和位移角向加速度}\left( \text{科里奥利加速度} \right) 2\mathbf{v}\times \mathbf{\omega }

搭配舒幼生先生的讲解更香。从第10p末尾到第11p就是了。