单变量微积分笔记27

　　直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料的简洁，也能让问题直观和清晰起来。

　　概念来自百度百科：

　　在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

　　简单地说，极坐标有两个主要部分：长度和方向。

　　极坐标仅仅是将直角坐标系的点换了一个表示法，仍未脱离原来的直角坐标系。很容易知道，如果M用x和y表示，那么：

　　这就是直角坐标系转换为极坐标表示法的转换公式。此外：

　　实际上距离和夹角都可能是负数，这种写法可以避免和正负号搅合在一起。

　　注：在极坐标中，x不再是y的函数，即x不再是变量，这在上篇文章的“新的思维模式”一节做过详细说明。

　　点

　　现在尝试将(x, y) = (1, -1)转换为极坐标表示法：

　　根据转换公式，可以得到三组答案：

　　直线

　　用极坐标表示直线y = 1。

　　y = rsinθ=1， r = 1/sinθ

　　这就是结果。这可以用下图表示：

　　图中每个向量长度都表示r，与x轴的夹角是θ，r = 1/sinθ呈扇形展开，因此也可以知道θ的取值范围是0 ≤ θ ≤ π

　　圆

　　在直角坐标系下，半径为a的圆是x2 + y2 = a2，转换为极坐标后：

　　所以可以用r = a表示极坐标系下的圆，当r的取值范围是(-∞, +∞)时，表示极坐标系下的所有点。

r = 1

　　用极坐标表示(x – a)2 + y2 = a2

　　圆心并不在原点。我们可以直接套用公式：

　　也可以使用一个比较快的方法，先计算，后代入：

　　还剩下最后一点，θ的取值范围，少了这点，我们就无法对其进行积分。

　　当θ = 0时，r的一端在(2a, 0)点；点沿着圆逆时针转动，当θ= π/2时点在(0, 0)处，期间r扫过了上半圆：

同理，当-π/2