【常用公式】三维空间直角坐标与极坐标转换公式

直角坐标： ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z)极坐标： ( r , θ , ϕ ) (r,\theta,\phi) (r,θ,ϕ)

注： r r r 表示极径的长度； θ \theta θ 表示直角坐标系中向量 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 与 Z Z Z 轴正向的夹角； ϕ \phi ϕ 表示向量 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 在 X Y XY XY 平面上的投影向量与 X X X 轴正向的夹角。

{ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = a r c t a n ( y / x ) ϕ = a r c c o s ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) \begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta=arctan(y/x)\\ \phi=arccos(z/\sqrt{x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​r=x2+y2+z2 ​θ=arctan(y/x)ϕ=arccos(z/x2+y2+z2 ​)​

注：若需要的 θ \theta θ 值在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]，可按以下方式对 θ \theta θ 进行取值： θ = { π + a r c t a n ( y / x ) x < 0 a r c t a n ( y / x ) x ≥ 0 \theta= \left\{ \begin{aligned} \pi + arctan(y/x)&&x