【数理知识】极坐标与笛卡尔坐标转换

从一个系统转换到另一系统，我们用这个三角形：

当我们知道一点的笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 想转换成极坐标 ( r , θ ) (r,θ) (r,θ)，我们需要解一个有两条已知边的直角三角形。

例子： (12,5) 的极坐标是什么？ 用勾股定理去计算长的一边（斜边）：

r 2 = 122 + 52 r = √ ( 122 + 52 ) r = √ ( 144 + 25 ) r = √ ( 169 ) = 13 \begin{aligned} &r^2 = 122 + 52\\ &r = √ (122 + 52)\\ &r = √ (144 + 25)\\ &r = √ (169) = 13 \end{aligned} ​r2=122+52r=√(122+52)r=√(144+25)r=√(169)=13​

用正切函数去计算角度：

t a n ( θ ) = 5 / 12 θ = t a n − 1 ( 5 / 12 ) = 22.6 ° （ 精 确 到 一 位 小 数 ） \begin{aligned} &tan( θ ) = 5 / 12\\ &θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° （精确到一位小数）\\ \end{aligned} ​tan(θ)=5/12θ=tan−1(5/12)=22.6°（精确到一位小数）​

答案：(12,5) 的极坐标是 (13, 22.6°)。

所以，笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 转换为极坐标 ( r , θ ) (r,θ) (r,θ):

注意：当 x 或 y 是负数时，计算器可能得到错误的 tan-1 () 的值……继续看下去。

当我们知道一点的极坐标 ( r , θ ) (r, θ) (r,θ)，想转换为笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)，我们需要解一个有已知斜边和角度的直角三角形：

例子：(13, 22.6°)的笛卡尔坐标是什么？

用 x x x 的余弦函数： cos ⁡ ( 22.6 ° ) = x / 13 \cos( 22.6 °) = x / 13 cos(22.6°)=x/13

重排及解： x = 13 × c o s ( 22.6 ° ) x = 13 × 0.923 x = 12.002... \begin{aligned} &x = 13 × cos( 22.6 °)\\ &x = 13 × 0.923\\ &x = 12.002...\\ \end{aligned} ​x=13×cos(22.6°)x=13×0.923x=12.002...​

用 y y y 的正弦函数： sin ⁡ ( 22.6 ° ) = y / 13 \sin( 22.6 °) = y / 13 sin(22.6°)=y/13

重排及解： y = 13 × s i n ( 22.6 ° ) y = 13 × 0.391 y = 4.996 … … \begin{aligned} &y = 13 × sin( 22.6 °)\\ &y = 13 × 0.391\\ &y = 4.996……\\ \end{aligned} ​y=13×sin(22.6°)y=13×0.391y=4.996……​

答案： (13, 22.6°) 的笛卡尔坐标是差不多 (12, 5)。

所以，极坐标 ( r , θ ) (r,θ) (r,θ) 转换为笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)：

极坐标 ( r , θ ) (r,θ) (r,θ) 转换为笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)：

笛卡尔坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 转换为极坐标 ( r , θ ) (r,θ) (r,θ):

tan ⁡ − 1 ( y / x ) \tan^{-1}( y/x ) tan−1(y/x) 可能需要调整：

象限 I: 用 计算器的值 象限 II: 加 180° 象限 III: 加 180° 象限 IV: 加 360°

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