估算原子弹爆炸能量

1945年7月16日，美国新墨西哥州沙漠，代号“三位一体”人类史上首次核试验引爆实验核弹。

英国物理学家杰弗里·泰勒根据这次这次核弹爆炸的一小段视频，估算出核弹能量。视频里截图如下：

如何估算？

利用量纲。

泰勒假设蘑菇云大小$r$只与时间$t$、空气密度$\rho$、原子弹释放能量$E$有关，$r=g(t,\rho,E)$。假设函数形式为幂函数，即

\begin{equation} r\approx \rho^xE^yt^z \label{rxyz} \end{equation}

其中$x,y,x$为未知指数。代入以上各量的量纲，有

\begin{equation} \mathrm{L=[ML^{-3}]}^x\mathrm{[ML^{2}T^{-2}]}^y\mathrm{T}^z \label{D} \end{equation}

两边量纲相同，得

\begin{equation} \begin{split} x+y=&0 \\ -3x+2y=&1 \\ -2y+z=&0 \end{split} \label{DD} \end{equation}

于是得

\begin{equation} x=-1/5,\quad y=1/5,\quad z=2/5 \label{xyz} \end{equation}

代入\eqref{rxyz}，得，

\begin{equation} r\approx \rho^{-1/5}E^{1/5}t^{2/5} \label{r} \end{equation}

于是，得原子弹释放能量

\begin{equation} E\approx \rho r^{5}t^{-2} \label{E} \end{equation}

由上式可估算出原子弹释放出的能力的数量级$10^{13}\mathrm J$，TNT当量大约是10几千吨。