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均值
均值与定积分的关系
在数学笔记14——微积分第一基本定理中曾介绍过定积分与均值关系,如果y = f(x),则当n→∞时: 用定积分的几何意义解释这个等式,如下图所示: 如果a = x0 < x1 < x2 < x3 < ……< xn = b,我们得到 y1 = f(x1), y2 = f(x2) …… yn = f(xn). Δx = (b – a)/n,那么当Δx→0时,面积就是: 进一步,两边同时除以b – a,相当于得到每个小矩形的面积:
结合本节最开始的公式: 所以Δx→0等同于n→∞ 现在看来均值和积分有着密切关系,将定积分除以积分的区间长度就是均值。 常数的均值我们知道常数的均值就是常数本身,现在用积分去解释,得到: 所以Avg(C) = C,积分更好地解释了均值这个概念。 示例计算点在单位半圆上的点平均高度 用定积分去解释,小矩形的宽度是dx,高度就是y,如下图所示: 单位圆的曲线是x2 + y2 = 1,由此便可计算均值: 我们可以直接求得半圆的面积而不必费力计算定积分。所以点的平均高度是π/4,附带的结论是,π/2的几何意义是单位半圆的面积,用积分解释就是 均值的不同答案均值的一个重要特征:对谁计算均值?对于不同的变量,将会得到不同的答案。 还是计算点在单位半圆上的点平均高度,这次我们使用弧长来计算,如下图所示: 设弧长为θ,dθ是半圆的1/n,dθ在x轴的投影是dx,然而dx并不是直径的1/n——在(0,1)点,dx和dθ接近;越靠近(1,0)点,dθ对应的dx越短。 在单位圆中,弧长等于半径夹角,半径上点的高度就是y = sinθ,如下图所示: 已知上图θ的取值范围是[0, π],则对于弧长,半径上点的均值是:
看来今后在说均值时还需要加上前提条件,说明就什么而言计算的均值。 权重 权重与加权平均在实际应用中,数值往往带有权重,这就要求计算均值时将权重也考虑进去。 对于f(x),如果每个x对应的权重是w(x),均值公式就变成了:
根据该公式,常数的均值依然是常数:
从一个实际例子中能更好地解释公式:如果我分别以10元,20元,30元的价格买过同一支股票,平均购买的价格是多少? 直接用(10 + 20 + 30)/3计算是不对的,想要求得平均价格,还必须知道每次购入了多少股。现在设每次购入w1, w2, w3股,那么均值就是:(10 w1 + 20w2 + 30w3)/( w1 + w2 + w3),这是对离散值的处理,对于连续值就可以使用定积分的加权平均值公式。 示例如下图所示,有一个由y = x2旋转而成的坩埚,高度是1m,口宽2m。锅中盛满水后热一段时间后,锅底温度是100℃,水面温度是70℃,现假设温度的函数是T = 100 – 30y,那么此时整锅水的能量是多少?能量 = 体积×温度
由于锅是圆弧形,越往上装的水越多,对整体结果的影响就越大,这实际上是将容积看成对于温度的权重。可以使用圆盘法求解该问题,这样每个圆盘切片对应的温度就是一个定值,如下图所示: 圆盘的体积是πx2dy,能量是Tπx2dy,这样整体的能量就是:
还可以根据总能量除以容积求出平均温度: 概率 用定积分解释概率如下图所示,曲线与x轴所围图形中的一个随机点,落在 x > 1/2处的概率? 概率问题就是面积问题,因此:
用微积分解释概率的一般公式:
其中w(x)是事件x的权重,在上例中,w(x) = 1 – x2 示例 我最近在练习投掷飞镖,并且技术不错。现在我用一个带立柱的靶练习,每次都站在固定的位置联系。假设我的命中次数与靶心距离呈正态分布,靶子的半径是r米,立柱的高度是h米,宽度是w米,那么我命中立柱的概率是多少?命中次数与半径的关系: 这是典型的加权概率问题,权重就是正态分布函数:
现在将立柱绕靶子外檐环绕一周,形成一个圆环,我们需要做的首先是计算出圆环的命中率,然后用立柱的面积除以圆环的面积就能得出最终结果:
现在我们知道命中上图中绿线次数(圆环宽度)是呈正态分布的,命中的次数就是曲线在r和r+h点与x轴围成的面积: 现在需要将“线”扩展为”面”,实际上是等同于将“线”旋转一周,等同于将上图阴影部分绕y轴旋转一周,于是根据壳层法,圆环的命中次数: 综合示例 示例1假设一个人的速度关于时间的函数是,单位是m/s。这个人从t = 0时刻开始跑步,加速5s,减速5s,他在这10s内的平均速度? 10秒内前进的距离:
根据积分表: 平均速度: 示例2 曲线f(x) = x和g(x) = x3在第一象限相交的区域为R。 a) 在R区域,x的均值是多少? b) 如果在R上随机取一点,该点上x > 1/2的几率是多少? 问题a可转换为加权问题,如下图所示: 在虚线上,x值的总量是sum(x) = xb (f(xb) – g(xb)),均值是xb,x的权重就是w(x) = f(x) – g(x)。根据加权平均公式: 问题b较为简单,就是计算x > 1/2时R的面积与总面积的比值: 总结 1.现在看来均值和积分有着密切关系,将定积分除以积分的区间长度就是均值。 2.对于不同的变量计算均值,将会得到不同的答案。 3.对于加权平均值: 4.概率的一般公式:
作者:我是8位的 出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey 本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途!
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