如何计算投资收益率

某些人对绩效评估和分解不屑一顾，认为没必要那么复杂，不就比比谁赚的钱多就行了吗？问题没有那么简单。

首先，直观地说，一个人用 100 万本金赚到了 10 万，跟一个人只用 10 万本金赚到 10 万，显然后者的表现更好。所以第一个结论：在进行绩效评估的时候，不能光看收益额，而要看收益率：相对于其本金的收益。

那么，收益率可以被简单理解为收益除以本金吗？也不行，这里面的东西远比想象中复杂。简单地说，如何计算收益率，依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。

下面先给出一个这样的例子。

假设有甲、乙两个投资人，分别投资于两只基金 A 和 B ，这两只基金都投资于中国 A 股股市。为了简单起见，我们假设投资为两年期限，恰好为中国 A 股市场的 2007 年到 2008 年。

甲在 2007 年投资了 100 万到 A ，然后 A 这一年赚了 120%；甲一看赚了钱，马上追加了 200 万，结果 2008 年这只基金亏损 50%。显然，甲损失了 100+200-(220+200)*50%=90 万，平均投入资金为 200 万一年。

乙同样在 2007 年投资了 100 万到 B ， B 在这一年赚了 100%，但在年末他撤回了 50 万的本金。B 在第二年亏损了 60%。那么乙在这两年赚了(50+150*40%)-100=10 万。乙的平均投入成本为 75 万每年。

乙用不到一半的成本获得了更高的收益，而甲花了很多钱，最后亏损不少。从这个角度上来说，乙的赚钱能力更强一些。

由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作，那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢？显然不能，第一位投资经理无论在 2007 年还是 2008 年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。

所谓问题归结到：投资者的收益如何计算？基金经理的收益如何计算？

金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入（大于 0 ），期末资产视为现金流出（小于 0 ），那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于 0 的折现率。我们使用下述公式：

其中$ f_{t_i}$ 为时间点$ t_i$ 上的现金流，$ r$ 为内部收益率。

在金钱加权法中，钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义，分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。

上述的定义较为复杂，掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上，金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为 Modified Diez Return。

假设现金流为$ f_{t_i}, i=0,1\cdots, T$ ，其中$ f_0$ 为期初投资额，期末投资余额为$ -f_{t_T}$ ，那么金钱加权收益率$ r$ 为下述方程的解：

注意对$ r\sim 0$ 有$ (1+r)^x \sim 1+ rx$ 。上面等式可写成

解出$ r$ ：

此处分子$ -\sum f_i$ 为投资盈利额，分母为平均占用资金（因为在时间$ t_i$ 到$ t_{i+1}$ 期间，投入资金恰好为$ \sum_{j=0}^i f_{t_j}$ ）。

将投资区间分成若干段，每段之间没有现金进出，这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。时间加权收益率 = （ 1 + 各段收益率）的连乘 - 1。

时间加权法要求将投资区间分为若干段，每段之间没有现金进出。但在某些时候达到这点比较困难。比如每天日内不停地买卖股票，将每个买卖动作都分隔开，是一个无论在计算上，还是在对数据的要求上，都是一个几乎不可能的任务。

一个简单办法是，对于无法细分的时间颗粒（一般是一天），假设颗粒内部还是有现金流流入和流出，那么将流入的现金流都视为一开始就流入，流出的现金流则认为到结束才流出。

即：期间收益率 = （期末市值+流出现金-期初市值-流入资金）/（期初市值+流入资金）。

由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值，对于某些投资组合而言，这一点比较困难。那么在实际使用中，通常在固定的期限内，比如每个月，使用金钱加权法，计算这段期限内的收益率，然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。

时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计，而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率，再根据当时投入的资本进行加权的收益率。

从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。

这样最开始的例子中，基金 A、B 和投资人甲、乙的收益（ Performance Measure ）评估结果如下：

从上面可以看到，甲投资的基金 A 的表现优于乙投资的基金 B ，但甲的收益却不如乙。为什么会出现这种情况？直观看是因为甲的择时能力太差，在熊市重仓牛市轻仓。接下来绩效分解（ Performance Attribution ）会介绍一些定量的方法来评估各自的贡献。

Q. E. D.