统计学之假设检验（总体均值、总体比例、总体方差）含例题和解答

开篇引例： 某健身俱乐部欲根据往年的会员情况，制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁，其中25～35岁的会员占总人数的70%。研究人员从2005年 入会的新会员中随机抽取40人，调查得知他们的平均年龄是32岁，其中25～35岁的会员占74%。根据这份调查结果，问主管经理的对会员年龄的估计是否准确？

统计学是通过假设检验的方法来解决上述问题的。 假设检验（hypothesis testing）和参数估计（parameter estimation）是统计推断的两个组成部分，它们都是利用样本对总体进行某种推断。 参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计之前是未知的。 假设检验则是先对的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。

假设检验（hypothesis testing）也称为显著性检验，是事先作出一个关于总体参数的假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定应接受或否定原假设的统计推断方法。 对总体作出的统计假设进行检验的方法依据是概率论中的“小概率事件实际不可能发生”原理。

例题： 某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁，研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人，调查得到他们的年龄数据如下。 试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确？

1.提出原假设和备择假设 原假设（Null hypothesis）又称零假设，是需要通过样本推断其正确与否的命题，用H0表示。 • 本例中可以提出：H0: m=35；这里m表示总体会员的平均年龄，意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。 与原假设对立的假设是备选假设（Alternative hypothesis），用H1表示。 • 在本例中，备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁 有显著差异”，可以表示为H1 : m≠35。 原假设与备选假设互斥，检验结果二者必取其一。

原假设 1 陈述需要检验的假设 2 零假设用 H0 表示 3 代表“正常”的情形 4 总是包含等号“=” 5 检验以“假定原假设为真”开始

备择假设 1 为原假设的对立情况 2 备择假设用H1表示 3 代表“不能轻易肯定的情况” 4 很少包含等号

2.确定适当的检验统计量 假设检验需要借助样本统计量进行统计推断，称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。 在具体问题中，选择什么统计量，需要考虑的因素有：总体方差已知还是未知，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，等等。 3.选取显著性水平，确定接受域和拒绝域 4.计算检验统计量的值 5.作出统计决策

2005年北京市职工平均工资为32808元，标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查，测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异？ （在本例题中，我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异，不涉及差异的方向，因此，本题属于双侧检验。检验过程如下：） （1）提出假设： H0:m=32808；H1:m≠32808； （2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量； （3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值。 判断规则为：若z>1.96或z