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曲面
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在几何中，曲面是一个基本的概念。三维空间中的曲面有两个自由度，因此可以用两个参数来定位曲面上的点。而在 n {\displaystyle n} 维空间情形下，我们一般称 n − 1 {\displaystyle n-1} 维的几何图形为曲面，低于 n − 1 {\displaystyle n-1} 维的图形是曲面的退化形式。 目录 1 方程 2 曲面的切面和法线 2.1 普通方程形式 2.2 参数方程形式 3 曲面的夹角 4 曲面的两侧 5 曲面的面积 6 曲面的曲率 方程[]三维空间中的曲面可以用一个三元方程 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 表示，这样的方程称为曲面的普通方程，另外，曲面还可用如下参数方程表示 { x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) , ( u , v ) ∈ D ⊆ R 2 . {\displaystyle {\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v),\end{cases}}\quad (u,v)\in D\subseteq \mathbb {R} ^{2}.} 上述三个函数都是二元实函数，它可以写成向量值函数 r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) . {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).} 此外，一个二元实函数 z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} 在空间上的图像也是一个曲面，这是由限制条件 F ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0} 给出的，等价于 { x = u , y = v , z = f ( u , v ) . {\displaystyle {\begin{cases}x=u,\\y=v,\\z=f(u,v).\end{cases}}} 曲面的切面和法线[] 普通方程形式[]设曲面 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 对各个变量的偏导数连续， M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} 在曲面上，则过 M 0 {\displaystyle M_{0}} 的曲面上的任意一条光滑曲线 ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle (x(t),y(t),z(t))} 都满足 F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = 0 {\displaystyle F(x(t),y(t),z(t))=0} 对 t {\displaystyle t} 求导，当 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 时有 F x | M 0 x ′ ( t 0 ) + F y | M 0 y ′ ( t 0 ) + F z | M 0 z ′ ( t 0 ) = 0 {\displaystyle F_{x}{\Big |}_{M_{0}}x'(t_{0})+F_{y}{\Big |}_{M_{0}}y'(t_{0})+F_{z}{\Big |}_{M_{0}}z'(t_{0})=0} 设 n → = ( F x | M 0 , F y | M 0 , F z | M 0 ) {\displaystyle {\vec {n}}=\left(F_{x}{\Big |}_{M_{0}},F_{y}{\Big |}_{M_{0}},F_{z}{\Big |}_{M_{0}}\right)} ，上述等式说明 n → {\displaystyle {\vec {n}}} 和过点 M 0 {\displaystyle M_{0}} 的曲面上的任意一条光滑曲线的切向量 ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) {\displaystyle (x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))} 都垂直，我们把以 n → {\displaystyle {\vec {n}}} 作为法向量的平面称为曲面 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 在 M 0 {\displaystyle M_{0}} 处的切（平）面，显然它的方程可以是 F x | M 0 ( x − x 0 ) + F y | M 0 ( y − y 0 ) + F z | M 0 ( z − z 0 ) = 0 {\displaystyle F_{x}{\Big |}_{M_{0}}(x-x_{0})+F_{y}{\Big |}_{M_{0}}(y-y_{0})+F_{z}{\Big |}_{M_{0}}(z-z_{0})=0} 而以 n → {\displaystyle {\vec {n}}} 为方向向量且过 M 0 {\displaystyle M_{0}} 的直线就称作曲面 F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 在 M 0 {\displaystyle M_{0}} 处的法线。 参数方程形式[]如果曲面是以参数方程给出的，情况稍有复杂，仅叙述结论。 设曲面的参数方程为 { x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) , z = z ( u , v ) . {\displaystyle {\begin{cases}x=x(u,v),\\y=y(u,v),\\z=z(u,v).\end{cases}}} 则过曲面上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} 的切面（如果存在）方程是 D ( y , z ) D ( u , v ) | M 0 ( x − x 0 ) + D ( z , x ) D ( u , v ) | M 0 ( y − y 0 ) + D ( x , y ) D ( u , v ) | M 0 ( z − z 0 ) = 0 {\displaystyle \left.{\dfrac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}}(x-x_{0})+\left.{\dfrac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}}(y-y_{0})+\left.{\dfrac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}}(z-z_{0})=0} 法向量为 ( D ( y , z ) D ( u , v ) | M 0 , D ( z , x ) D ( u , v ) | M 0 , D ( x , y ) D ( u , v ) | M 0 ) {\displaystyle \left(\left.{\dfrac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}},\left.{\dfrac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}},\left.{\dfrac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}}\right)} 曲面的夹角[]两个相交曲面 S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} 在它们的交线 l {\displaystyle l} 上的点 P {\displaystyle P} 的法线 n 1 , n 2 {\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2}} 的夹角 α {\displaystyle \alpha } ，就称作这两个相交曲面 S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} 在交线 l {\displaystyle l} 上该点 P {\displaystyle P} 的夹角。假设 l {\displaystyle l} 的曲率为 κ {\displaystyle \kappa } ， l {\displaystyle l} 在 S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} 上的法曲率为 k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} ，那么 α {\displaystyle \alpha } 满足 κ 2 sin 2 α = k 1 2 + k 2 2 − 2 k 1 k 2 cos α . {\displaystyle \kappa ^{2}\sin ^{2}\alpha =k_{1}^{2}+k_{2}^{2}-2k_{1}k_{2}\cos \alpha .} 如果两个相交的曲面在交线上的点的切面相互垂直，就称这两个曲面正交，这也等价于两个相交曲面在它们的交线上的点的法线相互垂直。正交曲面可用来形成三维空间中的坐标系。 曲面的两侧[]三维曲面分为单侧曲面和双侧曲面，单侧曲面的一个典型例子是 Mobius 带，它不可定向，生活中常见的曲面都是双侧曲面，它们都可以定向，在多元积分中我们都假定曲面是双侧的。 双侧曲面上某点的方向我们规定为在该点处法线的方向，有时为了计算方便还常假定法线是单位向量。曲面的方向是曲面上每一点的向量值函数，它必须是连续的，这就要求曲面规定的方向不能上下交叉。按照这种方法，双侧曲面有两个方向，例如 O x y {\displaystyle Oxy} 平面我们可以规定 z {\displaystyle z} 轴正向为它的方向，也可以选择 z {\displaystyle z} 轴负向，但是不能一部分正向一部分负向，这是不连续的。 对于闭曲面，有内侧和外侧，指向曲面所围内部的方向为内侧，例如球面我们可以规定指向球心和背离球心两个方向，分别称为球面的内侧和外侧。 对于由二元函数 z = z ( x , y ) {\displaystyle z=z(x,y)} 确定的曲面，它的方向 z {\displaystyle z} 轴正向的夹角要么恒为锐角，要么恒为钝角，我们把前者称作曲面的上侧，后者称为曲面的下侧。同样对于 y = y ( x , z ) , x = x ( y , z ) {\displaystyle y=y(x,z),x=x(y,z)} 分别有左侧和右侧以及前侧和后侧的概念。 曲面的面积[]参见曲面的面积。 曲面的曲率[]参见法曲率。 |
维空间情形下，我们一般称
n
−
1
{\displaystyle n-1}
维的几何图形为曲面，低于
n
−
1
{\displaystyle n-1}
表示，这样的方程称为曲面的普通方程，另外，曲面还可用如下参数方程表示
上述三个函数都是二元实函数，它可以写成向量值函数
r
(
u
,
v
)
=
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
,
z
(
u
,
v
)
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).}
此外，一个二元实函数
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)}
在空间上的图像也是一个曲面，这是由限制条件
F
(
x
,
y
,
z
)
=
z
−
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0}
给出的，等价于
{
x
=
u
,
y
=
v
,
z
=
f
(
u
,
v
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}x=u,\\y=v,\\z=f(u,v).\end{cases}}}
曲面的切面和法线[]
普通方程形式[]
在曲面上，则过
M
0
{\displaystyle M_{0}}
的曲面上的任意一条光滑曲线
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
{\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}
都满足
对
t
{\displaystyle t}
求导，当
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
时有
F
x
|
M
0
x
′
(
t
0
)
+
F
y
|
M
0
y
′
(
t
0
)
+
F
z
|
M
0
z
′
(
t
0
)
=
0
{\displaystyle F_{x}{\Big |}_{M_{0}}x'(t_{0})+F_{y}{\Big |}_{M_{0}}y'(t_{0})+F_{z}{\Big |}_{M_{0}}z'(t_{0})=0}
设
n
→
=
(
F
x
|
M
0
,
F
y
|
M
0
,
F
z
|
M
0
)
{\displaystyle {\vec {n}}=\left(F_{x}{\Big |}_{M_{0}},F_{y}{\Big |}_{M_{0}},F_{z}{\Big |}_{M_{0}}\right)}
，上述等式说明
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
和过点
M
0
{\displaystyle M_{0}}
都垂直，我们把以
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
而以
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
则过曲面上一点
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
法向量为
(
D
(
y
,
z
)
D
(
u
,
v
)
|
M
0
,
D
(
z
,
x
)
D
(
u
,
v
)
|
M
0
,
D
(
x
,
y
)
D
(
u
,
v
)
|
M
0
)
{\displaystyle \left(\left.{\dfrac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}},\left.{\dfrac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}},\left.{\dfrac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right|_{M_{0}}\right)}
曲面的夹角[]
在它们的交线
l
{\displaystyle l}
上的点
P
{\displaystyle P}
的法线
n
1
,
n
2
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2}}
的夹角
α
{\displaystyle \alpha }
，就称作这两个相交曲面
S
1
,
S
2
{\displaystyle S_{1},S_{2}}
，
l
{\displaystyle l}
，那么
α
{\displaystyle \alpha }
如果两个相交的曲面在交线上的点的切面相互垂直，就称这两个曲面正交，这也等价于两个相交曲面在它们的交线上的点的法线相互垂直。正交曲面可用来形成三维空间中的坐标系。
曲面的两侧[]
平面我们可以规定
z
{\displaystyle z}
轴正向为它的方向，也可以选择
z
{\displaystyle z}
确定的曲面，它的方向
z
{\displaystyle z}
分别有左侧和右侧以及前侧和后侧的概念。
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