时间序列

2023-08-09 21:09| 来源: 网络整理| 查看: 265

经过上一章，假设现在我们已经确定了ARIMA(p,d,q)中的阶数p,d,q 了，接下来我们要做的，就是参数估计。

考虑ARIMA(p,d,q):

(1-\phi_1B-...-\phi_pB^p)(1-B)^dZ_t=\theta_0+(1-\theta_1B-...-\theta_qB)a_t \{a_t\}\sim WN(0,\sigma_a^2）

我们现在要估计的目标有这些： \phi_1,...\phi_p,\theta_0,...\theta_q,\sigma_a^2 。但是，R里边的截距项并不是这里的 \theta_0 ，重新转化计算起来可能会比较麻烦，于是我们也可以将ARIMA(p,d,q)按照R中的形式来写成： (1-\phi_1B-...-\phi_pB^p)(1-B)^d(Z_t-\mu)=+(1-\theta_1B-...-\theta_qB)a_t\{a_t\}\sim WN(0,\sigma_a^2) ，R 中估计出来的截距项事实上是这里的 \mu。

接下来我们介绍一下估计参数的方法：矩估计(MME)，极大似然估计(MLE)，条件最小二乘(CLS)，以及无条件最小二乘(ULS) 。我们仅仅针对特定的模型进行分析，因为手算的话，像MA, ARMA非常非常麻烦。以下模型中我们都有 \{a_t\}\sim WN(0,\sigma_a^2) 的假设，而且模型都是平稳可逆的。

矩估计(MME)

矩估计最基本的思想就是用样本矩去估计总体矩。我们在数统和贝叶斯中都接触过这样的方法。当然，矩估计的结果并不是唯一的。

对于一个结束确定的ARIMA(p,d,q)，我们根据样本观测值用矩估计来估计参数的步骤如下：

计算样本一阶矩、二阶矩： \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^nZ_t， \hat{\gamma}_k=\sum_{t=k+1}^n(Z_t-\bar{Z})(Z_{t-k}-\bar{Z}) \hat{\rho}_k=\frac{\sum_{t=k+1}^n(Z_t-\bar{Z})(Z_{t-k}-\bar{Z})}{\sum_{t=1}^n(Z_t-\bar{Z})^2}

AR(p)： (Z_t-\mu)=\phi_1(Z_{t-1}-\mu)+...+\phi_p(Z_{t-p}-\mu)+a_t 我们对期望的估计为 \mu=\hat{\mu}为了估计参数 \phi_1,...\phi_p ，根据Yule-Walker equation \left( \begin{array}{c} \rho_1 \\ \rho_2 \\ \vdots \\ \rho_p \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & \rho_1 & \ldots & \rho_{p-1} \\ \rho_1 & 1 & \ldots & \rho_{p-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ \rho_{p-1} & \rho_{p-2} & \ldots & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \\ \phi_{p} \\ \end{array} \right)，将 \rho_k 用 \hat{\rho}_k 估计，可以得到 \phi_1,...\phi_p 的估计值 \hat{\phi}_1,...\hat{\phi}_p根据 \gamma_0=\frac{\sigma_a^2}{1-\rho_1\phi_1-...-\rho_p\phi_p} ，得到 \hat{\sigma_a}^2=\hat{\gamma}_0( 1-\hat{\rho}_1\hat{\phi}_1-...-\hat{\rho}_p\hat{\phi}_p)对MA(q)的估计算起来有点复杂。这里只介绍MA(1): Z_t-\mu=a_t-\theta_1a_{t-1} 我们对期望的估计为 \mu=\hat{\mu}\rho_1=\frac{-\theta_1}{1+\theta_1^2} ，于是我们根据 \hat{\rho}_1 反解出 \theta_1 。注意到这是一个一元二次方程，必定有两个根。但是我们必须要保证模型是可逆的，此时要求 |\theta_1|

【本文地址】

公司简介

联系我们