python基础

对于一个由 num_digits 个 30 位 digit 组成的最大整数，其值表示为：

max_int = ∑ i = 0 num_digits − 1 ( 2 30 − 1 ) × 2 30 i \text{max\_int} = \sum_{i=0}^{\text{num\_digits}-1} (2^{30} - 1) \times 2^{30i} max_int=∑i=0num_digits−1​(230−1)×230i

我们可以将这个求和公式拆开来看： max_int = ( 2 30 − 1 ) × ( 1 + 2 30 + 2 60 + … + 2 30 ( num_digits − 1 ) ) \text{max\_int} = (2^{30} - 1) \times (1 + 2^{30} + 2^{60} + \ldots + 2^{30(\text{num\_digits} - 1)}) max_int=(230−1)×(1+230+260+…+230(num_digits−1)) 注意到括号内的部分是一个几何级数，其公比为 2 30 2^{30} 230，项数为 num_digits。

对于一个等比数列 1 + r + r 2 + … + r n − 1 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} 1+r+r2+…+rn−1，它的和为： S = r n − 1 r − 1 S = \frac{r^n - 1}{r- 1} S=r−1rn−1​

在这里， r = 2 30 r = 2^{30} r=230，而项数 n = num_digits n = \text{num\_digits} n=num_digits。

所以： 1 + 2 30 + 2 60 + … + 2 30 ( num_digits − 1 ) = ( 2 30 ) num_digits − 1 2 30 − 1 1 + 2^{30} + 2^{60} + \ldots + 2^{30(\text{num\_digits} - 1)} = \frac{(2^{30})^{\text{num\_digits}} - 1}{2^{30} - 1} 1+230+260+…+230(num_digits−1)=230−1(230)num_digits−1​ 将这个结果代入最大整数公式中，我们得到： max_int = ( 2 30 − 1 ) × ( 2 30 ) num_digits − 1 2 30 − 1 \text{max\_int} = (2^{30} - 1) \times \frac{(2^{30})^{\text{num\_digits}} - 1}{2^{30} - 1} max_int=(230−1)×230−1(230)num_digits−1​

可以简化为： max_int = ( 2 30 ) num_digits − 1 \text{max\_int} = (2^{30})^{\text{num\_digits}} - 1 max_int=(230)num_digits−1 num_digits 的最大值为： num_digits = 2 61 − 1 \text{num\_digits} = 2^{61} - 1 num_digits=261−1

将这个值代入最大整数公式中，我们得到： max_int = ( 2 30 ) 2 61 − 1 − 1 \text{max\_int} = (2^{30})^{2^{61} - 1} - 1 max_int=(230)261−1−1