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数学建模之优劣解距离法理论篇（综合评价）
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TOPSIS称为优劣解距离法。是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间地差距。 首先分析层次分析法地一些局限性： （1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵地差异可能会很大。
把所有的指标转化成极大型称为指标正向化（最常用） 假设有n个要评价的对象，n个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
区间型指标：指标值落在某个区间最好，例如人的体温落在36度-37度这个区间比较好。 {xi}是一组中间型指标序列，且最佳的的区间为[a,b],那么正向化的公式如下：
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平均随机一致性指标R1的表格中n最多是15. （2）如果决策层中的指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价更加准确呢？ 
**一个栗子 ** 小明宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示： 
请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。 一个很简单的想法：可以直接用成绩来评价一个成绩的高低。排名的成绩越小越好，那么对排名进行处理，让他越大越好。然后对数据进行归一化。用数来除以他们排名的和就可以得到评分。 
然后我们修改成绩数据，将小王的分数修为10分，清风的数据修改为90分。但是修改后排名数据是没有变化的，那么评分也不会变化。 
所以我们之前的评分不够合理。 一个比较好的想法： 
然后我们找出最高成绩max：99 最低成绩min:60 构造计算评分的公式：x-min/max-min. 然后对评分进行归一化，即各个未归一化的评分除以这四个评分的和得到归一化的评分。
一个要说明的问题 使用卷面最高分max:100，卷面最低分：0，构造计算评分的公式：x-0/100-0 .这个模型看起来也是可行的。并且可能感觉更好。 
但是缺点如下： （1）比较的对象 一般要远大于两个。（例如一个班的成绩） （2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数，课外竞赛得分等 （3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值。比如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。 
拓展问题：增加指标个数 新增加一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们评分。 
成绩是越大越好，这样的指标称为极大型指标（效益性指标） 与他人争吵的次数是越少越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）
极小型指标转化成极大型指标的公式：max-x 标准化处理 
为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理
只有一个指标的时候，构造计算评分的公式：x-min/max-min 变形=（x-min)/(max-min)=(x-min)/(max-x)+(x-min) 以上可以看作： x与最小值的距离/x与最大值的距离+x与最小值的距离。 
类比只有一个指标计算得分： 
如何计算得分 
一定要经过标准化。 
如何计算得分： 
TOPSIS的介绍： TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确反映各评价方案之间的差距。 基本过程：先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化矩阵，再对正向化矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此来作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。 第一步：将原始矩阵正向化 最常见的四种指标：
所谓的将原始 矩阵正向化，就是要将所有指标类型统一转化成极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一） 极小型指标->极大型指标 
极小型指标转换为极大型指标的公式:max-x 如果所有的元素均为正数，那么也可以使用1/x. 但是还是推荐使用第一种：max-x。第二种限制条件太多。 中间型指标->极大型指标 中间型指标：指指标既不要太大也不要太小，取某个特定值最好（例如水质量评估PH值）{xi}是一组中间型指标序列，且最佳的数值为xbest，那么正向化的公式如下： 
根据如上表中的数据如何计算M呢。因为是计算的PH值，则最好的值为xbest,则M的计算如下： 
以体温的题目为例： 
第二步：正向化矩阵标准化： 标准化的目的主要是消除不同指标量纲的影响。 假如有n个要评价的对象，m个评价指标（指标已经正向化）构成的正向化矩阵如下： 
那么，对其标准化的矩阵记为Z,Z中的每一个元素： 
第三步：计算得分并归一化。 假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵。 
一起做个题 
由含氧量越大越好是一个极大型指标，PH值越接近于7越好，是一个中间型指标，细菌总数越少越好，是一个极小型指标，植物性营养物量介于10-20之家最佳是一个区间型指标。 模型拓展： 
在模型中我们默认了相同的权重。但是实际中指标的权重可能是不同的。所以我们定义评价对象和最大值的距离D+和评价对象与最小值的距离D-的时候，我们在前面加上权重wj。 具体如下： 
然后怎么设置权重呢？用层次分析法即可。 带权重的TOPSIS 假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵。 
可以使用层次分析法给这m个评价指标确定权重：
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