最优化理论与算法习题解答(txt+pdf+epub+mobi电子书下载)

发布时间：2021-07-30 03:52:37

作者：陈宝林

出版社：清华大学出版社

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前言

最优化理论与算法是用数学方法研究最优方案，因此，像一般数学分支一样，有严密的逻辑性，要想看懂不十分困难；但要深入理解，掌握精髓，融会贯通，并不容易；要提高分析问题、解决问题的能力，学以致用，就更加困难．要想真正学好这门学科，必须重视做题．在学习的过程中，往往遇到一种现象，一看就懂，一做就错，这正好说明做题在学习数学类课程中的重要作用．可以说，做题是打开最优化理论之门的钥匙，是真正学懂、会用最优化理论与算法的一个重要途径．

本书出版的目的是满足教学和自学的需要，促进运筹学的学习、研究和应用．衷心希望广大读者，在做题时严守独立思考，发挥创造性和丰富的想象力，切忌先看题解后做习题．还要强调，这里给出的解答是一家之言，仅供参考，不作为标准答案．倘若本书禁锢读者思路，就违背了作者初衷．

由于水平有限，错误在所难免，欢迎广大读者批评指正．编　者2012年2月 第1章  CHAPTER 1引言题解

1．用定义验证下列各集合是凸集：（1）S＝｛（x，x）｜x＋2x≥1，x－x≥1｝；121212（2）S＝｛（x，x）｜x≥｜x｜｝；1221（3）S＝｛（x，x）｜≤10｝．12

证　（1）对集合S中任意两点及每个数λ∈［0，1］，有

由题设，有（1）（2）

因此，λx＋（1－λ）x∈S，故S是凸集．（2）对集合S中任意两点和及每个数λ∈［0，1］，有

由题设，有（1）（2）

因此λx＋（1－λ）x∈S，故S是凸集．（3）对集合S中任意两点和及每个数λ∈［0，1］，有

由题设，有（1）（2）

因此λx＋（1－λ）x∈S，故S是凸集．pn

2．设C⊂是一个凸集，p是正整数．证明下列集合S是中的凸集：n

S＝｛x｜x∈，x＝Aρ，ρ∈C｝，

其中A是给定的n×p实矩阵．（1）（2）

证　对任意两点x，x∈S及每个数λ∈［0，1］，根据集（1）（2）合S的定义，存在ρ，ρ∈C，使x＝Aρ，x＝Aρ，因此必有1212（1）（2）λx＋（1－λ）x＝λAρ＋（1－λ）Aρ＝A［λρ＋（1－λ）121（1）ρ］．由于C是凸集，必有λρ＋（1－λ）ρ∈C，因此λx＋（1－212（2）λ）x∈S，故S是凸集．

3．证明下列集合S是凸集：

S＝｛x｜x＝Ay，y≥0｝，nm

其中A是n×m矩阵，x∈，y∈．（1）（2）

证　对任意的x，x∈S及每个数λ∈［0，1］，存在y，y12（1）（2）（1）（2）≥0，使x＝Ay，x＝Ay，因此有λx＋（1－λ）x＝12（1）A［λy＋（1－λ）y］，而λy＋（1－λ）y≥0，故λx＋（1－λ）1212（2）x∈S，即S是凸集．n

4．设S是中一个非空凸集．证明对每一个整数k≥2，若（1）（2）（k）x，x，…，x∈S，则

其中λ＋λ＋…＋λ＝1（λ≥0，i＝1，2，…，k）．12ki

证　用数学归纳法．当k＝2时，由凸集的定义知上式显然成立．设k＝m时结论成立，当k＝m＋1时，有

其中．根据归纳法假设，

由于于是当k＝m＋1时结论也成立．从而得证．n

5．设A是m×n矩阵，B是l×n矩阵，c∈，证明下列两个系统恰有一个有解：Tn

系统1　Ax≤0，Bx＝0，cx＞0，对某些x∈．TTml

系统2　Ay＋Bz＝c，y≥0，对某些y∈和z∈．

证　由于Bx＝0等价于

因此系统1有解，即

根据Farkas定理，得

试读结束[说明：试读内容隐藏了图片]

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