曲线之切线法平面VS曲面之切平面法线

1. 参数方程的形式

同济版教材内容如下，请理解和记忆如下公式：

参数方程在知道偏导数的情况下，求得该点的切线以及法平面的方程，这部分内容在空间向量那一章中有介绍，笔者可以理解，但是无法证明。

2. 可以转换为参数方程的第二种形式：

将y、z表示成x的方程，x是x的方程并可以假设为t，此时，三元方程中，x、y、z都可以表示为t的参数方程的形式。这是求此类方程切线或者切面的思路。

此种变换的本质，就是将多元函数转换为参数方程的形式。如果多元方程无法转换为参数方程的形式，将无法求出此类函数的切线方程和法平面。

3. 第二种形式的进一步扩展

该种形式的处理思路是，通过计算y、z对x的导数，转化为第二种形式，利用第二种方法，得到切线和法平面。

根据雅可比式，按照第二种处理方式，最终得到如下图中的切线和法平面：

第三种方式，实际上就是对方程求全导数，将y、z表达为x的函数，并求出y、z对x的导数。此过程跟上面的第一类和第二类的部分过程一样，将x看作多元参数方程中的t、将y和z当作t的参数方程，对t求导后，带入第一类或者第二类方法中，求出方程的切线和法平面的方程。

1. 普通形式

此处重点是理解（6-17）公式的含义。此公式可以看作两个向量的内积，因为内积为0，因此将此两个向量看作法向量和切线。曲面上定点每个变量的偏导数都是相等的，故可以推导出法向量的值，然后根据法向量推导出法线和切平面的公式。

2. 第二种形式

第二种形式是第一种形式的特例，思路还是转化为第一种方程的格式，根据公式，带入即可。

这部分章节较为繁琐，需要细细体会和沉淀，在记忆的基础上理解教材中的内容。