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其中
(
u
,
v
)
∈
D
(u,v)\in{D}
(u,v)∈D给出,其中
D
D
D是一个平面有界闭区域,上述三个函数在
D
D
D上具有连续的一阶偏导数,且
∂
(
x
,
y
)
∂
(
u
,
v
)
\frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}
∂(u,v)∂(x,y),
∂
(
y
,
z
)
∂
(
u
,
v
)
\frac{\partial{(y,z)}}{\partial{(u,v)}}
∂(u,v)∂(y,z),
∂
(
z
,
x
)
∂
(
u
,
v
)
\frac{\partial{(z,x)}}{\partial{(u,v)}}
∂(u,v)∂(z,x)不全为0,则曲面
S
S
S的面积
A
A
A=
∬
D
E
G
−
F
2
d
u
d
v
\iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
D∬EG−F2
dudv(5)其中:
E
=
x
u
2
+
y
u
2
+
z
u
2
E=x_{u}^2+y_{u}^2+z_{u}^2
E=xu2+yu2+zu2
F
=
x
u
x
v
+
y
u
y
v
+
z
u
z
v
F=x_ux_v+y_{u}y_{v}+z_uz_{v}
F=xuxv+yuyv+zuzv
G
=
x
v
2
+
y
v
2
+
z
v
2
G=x_{v}^2+y_{v}^2+z_{v}^{2}
G=xv2+yv2+zv2
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