贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理、公式推导及matlab代码实现 | 您所在的位置:网站首页 › 曲线表达式怎么求 › 贝塞尔曲线(Bezier Curve)原理、公式推导及matlab代码实现 |
1. 定义 贝塞尔曲线(Bezier curve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。 贝塞尔曲线的一些特性: 使用n个控制点2.直观理解 step1:在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接 step2:在线段AB和BC上找到D、E两个点,使得 Step4.找出符合上述条件的所有点 上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的,也有n解贝塞尔曲线 曲线图示一阶![]() ![]() ![]() ![]() 3.公式推导 3.1一次贝塞尔曲线(线性公式) 定义:给定点 其中,公式中的 假设
同理,有: 于是可将(3-1)(3-2)可简写为 3.2 二次贝塞尔曲线(二次方公式) 定义:二次贝塞尔曲线的路径由给定点 假设 将上式中的A、B带入C中,即可得到二次贝塞尔曲线的公式: 3.3 二次贝塞尔曲线(三次方公式) 同理可得三次贝塞尔曲线公式: 3.4 n次贝塞尔曲线(一般参数公式) 定义:给定点 n次贝塞尔曲线可由如下递归表达: ———————————————— 版权声明:以上内容来自CSDN博主「hailler1119」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接:https://blog.csdn.net/hailler1119/article/details/89195558 4、代码实现 首先来看不同阶数的贝塞尔曲线公式,来找共同点 N = 3: P = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2*P2 N = 4: P = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3*P3 N = 5: P = (1-t)^4P0 + 4(1-t)^3tP1 + 6(1-t)2*t2P2 + 4(1-t)t^3P3 + t^4*P4 可将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示: 设有常数 a,b 和 c,则该表达式可统一表示为如下形式: a * (1 - t)^b * t^c * Pn; 根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则: b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂) c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂) a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示: N=1:---------1 N=2:--------1 1 N=3:------1 2 1 N=4:-----1 3 3 1 N=5:---1 4 6 4 1 a 值的改变规则为: 杨辉三角 ------------------------------------------------------------------- 理论基础有了,开始写代码 a 值用杨辉三角计算,b ,c 值在for 循环里计算,Pn从传入的点坐标读取。 step1:首先使用杨辉三角的方式生成a值 N=length(control_points); ta=zeros(N,N);%%对数组进行初始化 %%杨辉三角左右两边的值赋1 % 杨辉三角的数的规律 % 1 % 1 1 % 1 2 1 % 1 3 3 1 % 1 4 6 4 1 for i=1:N ta(i,1)=1; ta(i,i)=1; end %%从第二个数开始,也就是从第三行开始,等于前列的左边加上正上方的一个 for row=2:N for col=2:row ta(row,col)=ta(row-1,col-1)+ta(row-1,col); end endstep2:生成贝塞尔曲线上的点 for i=1:M t=i/M;%%确定每一个点的比例 for k=0:N-1 c=k;%分别确定a,b,c三个系数 b=N-c-1;%分别确定a,b,c三个系数 a=ta(N,k+1);%分别确定a,b,c三个系数 p(i,1)=p(i,1)+a*(1-t)^b*t^c*control_points(k+1,1);%确定点的x坐标 p(i,2)=p(i,2)+a*(1-t)^b*t^c*control_points(k+1,2);%确定点的y坐标 end end下图是一个生成的四阶贝塞尔曲线(有5个控制点) 以上,从0到1的完成了贝塞尔曲线的实现。 ———————————————— 版权声明:本文为CSDN博主「CA727」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接:https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104649623/ |
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