二/三维空间曲面的切平面以及在某一点上的切线，法线

对于二维曲线上的某一个点，他的梯度组成的向量就是他的法向量，证： 因为二维曲线某一个点的曲线部分可以看成直线，设直线方程： ax+by+c=0 a x + b y + c = 0 那么他的斜率为 −ab − a b , 该方程x方向与y方向的梯度分别为： (a,b) ( a , b ) ,这个向量的斜率为 ba b a ,两者相乘恰好是-1，因此证明某个点的梯度其实就是这个点所在那部分曲线的法线。

（博文大部分取自于北科的课件，略加整理而成…）

光滑曲面方程形式为：

在曲面上任意取一点M(x0,y0,z0),曲线方程为：

设t=t0时对应点M，那么M点处的切向量为：

切线方程为：

M点处的法向量为：，

法线方程为：

，,

å上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上，此平面称为在该点的切平面，切平面的方程为：

，

实例：