高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率

§3.7  曲线的凹凸与拐点

一、引例

研究了函数的单调性、极性，对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图象的主要特征，仅凭此两点还是不够的。

【引例】作函数与在  上的图象。

曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出：

二、凹凸的定义

设函数在上连续， 如果对上任意、两点， 恒有

则称曲线在上的是凹的(或凹弧)，也称函数是上的凹函数。

如果恒有

则称曲线在上是凸的(或凸弧)，也称函数是上的凸函数。

函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性，二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢?一个最简单的例子，给我们以启迪。

抛物线的二阶导数为，

若， 即，抛物线是开口向上的凹弧；

若， 即，抛物线是开口向下的凸弧。

三、凹凸性的判别法

【定理】

设函数在上连续， 在内具有一阶和二阶导数，那未

(1)、若在内， ，则在上的图形是凹的；

(2)、若在内， ，则在上的图形是凸的。

证明(仅证(2))：

， 且 ，  记  ，

，

由拉氏中值公式有

两式相减得：

对在区间上再一次地使用拉氏中值公式有：

其中： 。

依定理情形(2)的假设条件有， 从而

，即

，亦即

所以， 函数在上是凸的。

对此定理，我们给出两点注释。

1、定理的记忆方法

2、函数在任意区间上凹凸性的定义与判定与之相类似。

四、曲线的拐点

业已知道，函数一阶导数为零或不存在的点，是函数单调区间的分界点，且函数在它左右两侧的单调性往往是相反的。

能否猜想：函数二阶导数为零或不存在的点，它所对应的曲线上的点是曲线弧的凹弧与凸弧的分界点。

【拐点定义】连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

依拐点的定义， 不难给出确定曲线拐点的方法：

设函数在区间上连续

1、求出在上为零或不存在的点；

2、这些点将区间划分成若干个部分区间，然后考察在每个部分区间上的符号，确定曲线的凹凸性；

3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。

【例1】求曲线的凹凸区间与拐点。

解：函数的定义区间为 ，，

，令  得：。

将定义区间分为三个区间

当时，，点是曲线的一个拐点；

当时，，点也是曲线的一个拐点。

【例2】讨论曲线的凹凸性与拐点。

§3.9  曲率

一、弧微分

1、有向曲线与有向线段的概念

给定曲线，取曲线上一固定点作为度量弧长的基点。规定：曲线的正向为依增大的方向。

对曲线上任一点，弧段是有向弧段,它的值规定如下：

(1)、的绝对值等于该弧段的长度。

(2)、当有向弧段的方向与曲线正向一致时，,相反时 。

有向弧段以后简称弧。显然,弧是的函数,即，而且是的单调增加函数。

【例1】求曲线的弧。

解：选择，对其上任一点，弧的长度是 。依弧的规定有：

若在的右侧，即，则，应取 ；

若在的左侧，即，则，应取 。

总之，，显然弧确为的单增函数。

2、弧的导数与微分

 设函数的导函数在上连续，又设， 为内两点，在曲线上的对应点分别为与，取为曲线上的一固定点为。再设对应于的增量，弧的增量为,有

令，则，，, 

故     

因是的单调函数，根号前应取正号，于是

   或      

进一步地改写可得弧微分公式

所代表的几何意义如下图所示：

二、曲率及其计算公式

1、曲率的概念

直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。

何为弯曲得厉害些? 即： 用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢? 让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。

下面，我们给出刻划曲线弯曲程度的数学量 － 曲率的定义。

设曲线具有连续转动的切线，在上选定一点作为度量弧的基点。

设曲线上的点对应于弧，切线的倾角为，曲线上的另一点对应于弧，切线的倾角为。那么，弧段的长度为 ，当切点从移到点时，切线转过的角度为 。

比值表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧的平均弯曲程度。称它为弧段的平均曲率。记作 。

当时(即：)，上述平均曲率的极限就称着曲线在点处的曲率，记作。

                                             (1)

当存在时，有 。

由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。

2、曲率的计算

【例2】求半径为的圆上任一点处的曲率。

圆周上的任一点处的曲率均为，这表明：圆周的弯曲程度处处一样， 且半径较小的圆周弯曲得更厉害些。

由例一可发现，利用曲率定义来计算曲率十分不便。下面，我们来推导曲线的曲率计算公式。

设曲线的直角坐标方程为 ，且具有二阶导数。

（是曲线的切线与  轴正向夹角）

两边对  求导得     

，   

又  

据曲率计算公式(1)有：

                                    (2)

若曲线为直线，因，那么 。故直线的曲率为零。亦即：直线无弯曲。这与我们的常识是一致的。

假设曲线方程是参数方程    给出

则(2)式可相应地改成形式：

，，

                             (3)

【例3】求抛物线上任一点的曲率。

运行程序gs0304.m,可获得抛物线与其曲率函数的图象。

【例4】求立方抛物线上任一点的曲率。

运行程序gs0305.m,可得立方抛物线与它的曲率函数的图象。

三、曲率圆与曲率半径

据上述定义有：

1、曲率与曲率半径的关系为：

2、曲线与它的曲率圆在同一点处有相同的切线，曲率，凹向。因此，可用圆率圆在点处的一段圆弧来近似地替代曲线弧。

下面推导曲率圆中心的坐标计算公式。

设的坐标为，曲线在点处的曲率圆方程为

其中：是动点坐标， 而         (1)

因点在曲率圆上，故

                             (2)

又曲线在点处的切线与曲率圆的半径垂直，故有

，

亦即：                               (3)

                           (4)

由式(2)与式(4)消去得：

注意到：当，即曲线为凹弧时，；

当，即曲线为凸弧时，，

总之与异号，因此，上式两边开方应取“ - ”号，有

将此式代入(3)式，有  ，从而得

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