如何通俗地理解曲率

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如何通俗地理解曲率

2023-11-14 01:36| 来源: 网络整理| 查看: 265

如何通俗地理解曲率

同学们大家好，今天我们来学习曲率。

1 自然语言

通俗的讲，曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线，可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平，曲率最小，最下面的最弯，曲率最大。

上面用的是自然语言，那么用数学语言定义，曲率又该如何定义呢？假设用 $K$ 代表曲率，也就是

$K=?$

2 圆的曲率

在定义一般曲线的曲率之前，我们首先定义的是圆的曲率。圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小。

这是符合观察的,可以看到，随着圆越大，曲线越来越平，曲率越小，圆越小，曲线越弯，曲率越大

也就是说，对于圆而言，曲率与半径成反比,此时

$K=\frac{1}{r}$

根据这个公式,我们可以很容易的计算出,半径为1的圆，曲率为1/1,半径为2的圆，曲率为1/2,半径为3的圆，曲率为1/3。

现在，我们手上有了圆的曲率定义公式,下面，我们要根据它，定义出一般曲线的曲率。

3 一般曲线的曲率

3.1 密切圆

可以看到，对于一般曲线而言，各个位置上的弯曲程度是不一样的。有些位置比较弯，有些位置比较平。

那么，我们要计算某一处的曲率，就在它的左右各取一个点。并用这三点确定一个圆。

然后将左右两个点不断向中间靠拢，最终得到的圆，称为密切圆。密切圆就是对这个点附近的曲线的最佳圆近似。

可以观察到，在曲线较为平坦的地方，密切圆半径较大,较为弯曲的地方，密切圆半径较小。

这个事实告诉我们，可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率

现在只要计算出密切圆的半径，就能计算出曲线的曲率。下面开始计算

3.2 计算

首先假设中间的点为 $x_0$ ，左右两个点分别为 $x_0-\delta$ 和 $x_0+\delta$ ,由它们确定的圆的半径用 $R$ 来表示

这个 $R$ 可以由外接圆半径公式得到

$R=\frac{abc}{4S}$

其中 $a,b,c$ 为三个点构成的三角形的三条边的边长, $S$ 为这个三角形的面积

下面将三条边分别用向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 来表示

那么三条边的边长，就是这三个向量取模长。

$R=\frac{||\boldsymbol{a}||\cdot||\boldsymbol{b}||\cdot||\boldsymbol{c}||}{4S}$

根据行列式的几何意义可知，由 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 所构成的平行四边形的有向面积，可以用行列式 $\text{det}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ 表示

$平行四边形有向面积=\text{det}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$

那么取绝对值后，得到的是平行四边形的面积，三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半。

$S=\frac{1}{2}|\text{det}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})|$

因此

$R=\frac{||\boldsymbol{a}||\cdot||\boldsymbol{b}||\cdot||\boldsymbol{c}||}{2|\text{det}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})|}$

设曲线函数为 $f$ ，那么三个点的坐标分别为

$\begin{pmatrix}x_0-\delta\\f(x_0-\delta)\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_0\\f(x_0)\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_0+\delta\\f(x_0+\delta)\end{pmatrix}$

那么三个向量分别为

$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}\delta\\f(x_0+\delta)-f(x_0)\end{pmatrix}, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}\delta\\f(x_0)-f(x_0-\delta)\end{pmatrix}, \boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}-2\delta\\f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)\end{pmatrix}$

将此带入上式，就能得到

$R=\frac{\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+4}\cdot\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\right]^2+1}\cdot\sqrt{\left[\frac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+1}}{2\left|\frac{f(x_0+\delta)+f(x_0-\delta)-2f(x_0)}{\delta^2}\right| }$

首先引入正弦定理，一个三角形的外接圆：

三角形的边长分别为， $a$ 、 $b$ 、 $c$ ；对应的顶角分别为， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\theta$ ，外接圆半径 $R$ ，根据正弦定理有：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

又由于三角形的面积 $S$ 为：

$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta$

综合上述两个条件可以得到：

$R=\frac{abc}{4S}$

好，有了上面的知识后继续往下。如图， $x_0$ 附近两个点决定一个圆，这三个点的坐标如下：

为了方便计算，将三个点标注为向量：

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}x_0\\f(x_0)\end{pmatrix}\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}x_0-\delta\\f(x_0-\delta)\end{pmatrix}\quad \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}x_0+\delta\\f(x_0+\delta)\end{pmatrix}$

这三个点组成三角形 $\triangle ABC$ ，在此三角形中各自的对边为以下向量：

$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}-2\delta\\f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\delta\\f(x_0+\delta)-f(x_0)\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\delta\\f(x_0)-f(x_0-\delta)\end{pmatrix}$

在图上标示下：

下面行列式：

$\begin{aligned} \text{det}(\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}) &=\begin{vmatrix}\delta&\delta\\f(x_0)-f(x_0-\delta)&f(x_0+\delta)-f(x_0)\end{vmatrix}\\ \\ &=\delta\big(f(x_0+\delta)-f(x_0)\big)-\delta\big(f(x_0)-f(x_0-\delta)\big)\\ \\ &=\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0) \end{aligned}$

表示的是如下平行四边形的有向面积：

有向面积是有正负号的，所以平行四边形的面积需要加上绝对值：

$A=\left|\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0)\right|$

而 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 为此平行四边形面积的一半，因此：

$S=\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}\left|\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0)\right|$

至此可以得到：

$\begin{aligned} R &=\frac{abc}{4S}\\ \\ &=\frac{||\boldsymbol{a}||\cdot||\boldsymbol{b}||\cdot||\boldsymbol{c}||}{4\cdot\frac{1}{2}\text{det}(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})}\\ \\ &=\frac{\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)]^2+4\delta^2}\cdot\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0)]^2+\delta^2}\cdot\sqrt{[f(x_0)-f(x_0-\delta)]^2+\delta^2}}{2\left|\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0)\right| } \end{aligned}$

上下同除以 $\delta^3$ 可得：

$\begin{aligned} R &=\frac{\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)]^2+4\delta^2}\cdot\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0)]^2+\delta^2}\cdot\sqrt{[f(x_0)-f(x_0-\delta)]^2+\delta^2}}{2\left|\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0)\right| }\\ \\ &=\frac{\frac{\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)]^2+4\delta^2}}{\delta}\cdot\frac{\sqrt{[f(x_0+\delta)-f(x_0)]^2+\delta^2}}{\delta}\cdot\frac{\sqrt{[f(x_0)-f(x_0-\delta)]^2+\delta^2}}{\delta}}{2\left|\frac{\delta f(x_0+\delta)+\delta f(x_0-\delta)-2\delta f(x_0)}{\delta^3}\right| }\\ \\ &=\frac{\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+4}\cdot\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\right]^2+1}\cdot\sqrt{\left[\frac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+1}}{2\left|\frac{f(x_0+\delta)+f(x_0-\delta)-2f(x_0)}{\delta^2}\right| }\\ \end{aligned}$

下面让左右两边的点向中间靠,设 $\delta\to 0$ 时，得到的密切圆半径为 $r$

则 $r$ 为 $R$ 的极限

$r=\lim_{\delta\to 0}R=\frac{\left(1+\left(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|}$

分别求各项的极限。首先：

$\begin{aligned} \lim_{\delta\to 0}\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+4} &=\sqrt{\left(\lim_{\delta\to 0}\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}+\frac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]\right)^2+4}\\ \\ &=\sqrt{[f'(x_0)+f'(x_0)]^2+4}=2\sqrt{1+[f'(x_0)]^2} \end{aligned}$

然后：

$\begin{aligned} \lim_{\delta\to 0}\sqrt{\left[\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\right]^2+1} &=\sqrt{\left[\lim_{\delta\to 0}\frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\right]^2+1}\\ \\ &=\sqrt{1+[f'(x_0)]^2} \end{aligned}$

同理：

$\begin{aligned} \lim_{\delta\to 0}\sqrt{\left[\frac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+1} &=\sqrt{\left[\lim_{\delta\to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\delta)}{\delta}\right]^2+1}\\ \\ &=\sqrt{1+[f'(x_0)]^2} \end{aligned}$

最后还有：

$\begin{aligned} \lim_{\delta\to 0}\frac{f(x_0+\delta)+f(x_0-\delta)-2f(x_0)}{\delta^2} &=\lim_{\delta\to 0}\frac{f'(x_0+\delta)-f'(x_0-\delta)}{2\delta}& \\ &=\frac{1}{2}\lim_{\delta\to 0}\left[\frac{f'(x_0+\delta)-f'(x_0)}{\delta}-\frac{f'(x_0-\delta)-f'(x_0)}{\delta}\right]\\ \\ &=f''(x_0) \end{aligned}$

所以可得：

$\begin{aligned} r=\lim_{\delta\to 0}R &=\frac{2\sqrt{1+[f'(x_0)]^2}\cdot\sqrt{1+[f'(x_0)]^2}\cdot\sqrt{1+[f'(x_0)]^2}}{2|f''(x_0)|}\\ \\ &=\frac{\Big(1+\big(f'(x_0)\big)^2\Big)^\frac{3}{2}}{\left|f''(x_0)\right|} \end{aligned}$

它的倒数，就是曲率

$K=\frac{1}{r}=\frac{\left|f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\right|}{\left(1+\left(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

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