闭环系统和开环系统的频域性能指标

在时域中，我们常分析系统的上升时间、稳定时间、超调量等性能指标。但是在系统设计时，还是从频域指标考虑的比较多。

前面讲的复频域的根轨迹，是通过开环传递函数来分析闭环传递函数的稳定性，也就是通过系统的开环传函分析闭环系统。在频域分析闭环系统性能时，我们依旧可以利用开环频域指标来估计闭环频域指标，而开环频域指标也可以在一定程度上转化为闭环时域指标。

带宽是指系统的闭环截止频率（wb），闭环截止频率也就是带宽。是指闭环系统的幅频特性曲线中从频率为0处的dB值第一次下降3dB时所对应的频率。

带宽反映了闭环系统的响应速度，主要影响上升时间。系统带宽扩大n倍，则响应速度加速n倍。带宽大的系统跟踪信号的能力强，因为能在较宽的频率带中跟踪原信号并保持较大的稳态幅值。但是反过来，因为带宽很大，所以一些高频干扰或者噪音就会被保留甚至放大。因此带宽的选择首先要满足信号跟踪和复现能力，再考虑降低噪音和干扰影响。

先看个带有零点的二阶系统，其传函 G=(117s+16700)/(s^2+300s+89879)的伯德图如下：

其伯德图相对于一阶系统的伯德图来说有个仰头现象，即出现“谐振峰值”。 谐振峰值会使得系统输出容易出现超调现象和振荡现象。

穿越频率（Wc）也称剪切频率也叫开环截止频率，是指开环系统的幅频特性曲线穿越0dB处的频率。我们发现其与闭环系统的带宽是有关联的。一般地穿越频率越大，带宽越大。带宽频率位于 Wc到2Wc之间。于是穿越频率可以和带宽一样对闭环系统的响应速度产生衡量的作用。一般穿越频率和谐振频率靠的比较近，因此可以拿穿越频率（Wc）来近似谐振频率 （Wr）。

相角裕度：开环系统的相频特性曲线中穿越频率对应的相角与-180°的差值大小。系统的相位裕度值越大则阻尼比越大，超调和谐振峰值越小。

增益裕度：把开环系统的相频特性曲线中-180°对应的频率为W0，则在其开环的幅频特性曲线中w0频率对应的值的倒数称作增益裕度。

闭环系统中的性能指标，如带宽、上升时间都与自然频率 (wn)和阻尼比( ξ \xi ξ) 相关。 而开环系统的穿越频率wc是可以固件自然频率wn的，一般穿越频率更大一些。 开环系统的相位裕度也可以估计阻尼比。如下图是二阶系统的标准形式的PM和 ξ \xi ξ的关系。

开环截止频率与闭环截止频率具有同向性，即开闭截止频率与其单位负反馈的闭环截止频率是同向增大的。且具有如下关系：ωb>ωc 。因为闭环截止频率越高，系统响应越快，所以也就是开环截止频率越高，系统响应越快。

开环传递函数：用来分析闭环系统的稳定度，找出相角裕度和增益裕度； 闭环传递函数：用来测量控制系统性能，如最大超调量，带宽等性能指标。

简单仿真说明下，如下图： 1、当增益为1时，系统发散； 2、当增益小于1时，系统震荡；

文章参考：1、闭环系统的频域性能指标      2、开环转移函数与闭环转移函数的差异