时间序列分析和预测(含实例及代码)

研究时间序列主要目的：进行预测，根据已有的时间序列数据预测未来的变化。

时间序列预测关键：确定已有的时间序列的变化模式，并假定这种模式会延续到未来。

时间序列数据用于描述现象随时间发展变化的特征。

时间序列分析就其发展历史阶段和所使用的统计分析方法看：传统的时间序列分析和现代时间序列分析。

时间序列（time series）是同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列。根据观察时间的不同，时间序列中的时间可以是可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。

时间序列：

是基本上不存在趋势的序列，序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动，在不同时间段波动程度不同，但不存在某种规律，随机波动

是包含趋势、季节性或周期性的序列，只含有其中一种成分，也可能是几种成分的组合。可分为：有趋势序列、有趋势和季节性序列、几种成分混合而成的复合型序列。

趋势（trend）：时间序列在长时期内呈现出来的某种持续上升或持续下降的变动，也称长期趋势。时间序列中的趋势可以是线性和非线性。

季节性（seasonality）：季节变动（seasonal fluctuation）,是时间序列在一年内重复出现的周期波动。销售旺季，销售淡季，旅游旺季、旅游淡季，因季节不同而发生变化。季节，不仅指一年中的四季，其实是指任何一种周期性的变化。含有季节成分的序列可能含有趋势，也可能不含有趋势。

周期性（cyclicity）：循环波动（cyclical fluctuation），是时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式波动。周期性是由商业和经济活动引起的，不同于趋势变动，不是朝着单一方向的持续运动，而是涨落相间的交替波动；不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律，且变动周期大多为一年，循环波动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且周期长短不一。周期性通常是由经济环境的变化引起。

除此之外，还有偶然性因素对时间序列产生影响，致使时间序列呈现出某种随机波动。时间序列除去趋势、周期性和季节性后的偶然性波动，称为随机性（random），也称不规则波动（irregular variations）。

时间序列的成分可分为4种：趋势（T）、季节性或季节变动（S）、周期性或循环波动（C）、随机性或不规则波动（I）。传统时间序列分析的一项主要内容就是把这些成分从时间序列中分离出来，并将它们之间的关系用一定的数学关系式予以表达，而后分别进行分析。按4种成分对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型：加法模型（additive model），乘法模型（multiplicative model）。乘法模型：

1、图形描述

2、增长率分析

是对现象在不同时间的变化状况所做的描述。由于对比的基期不同，增长率有不同的计算方法。

（1）增长率（growth rate）：增长速度，是时间序列中报告期观察值与基期观察值之比减1后的结果，用%表示。由于对比的基期不同，可分为环比增长率和定基增长率。

环比增长率：是报告期观察值与前一时期观察值之比减1，说明现象逐期增长变化的程度；

定基增长率是报告期观察值与某一固定时期观察值之比减1，说明现象在整个观察期内总的增长变化程度。

设增长率为G：          环比增长率 ：

                                       定基增长率 ：

（2）平均增长率（average rate of increase）：平均增长速度，是时间序列中逐期环比值（环比发展速度）的几何平均数减1的结果：   n:环比值的个数

（3）增长率分析中应注意的问题

i:    当时间序列中的观察出现0或负数时，不宜计算增长率。这种序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。可用绝对数进行分析。

ii:    有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，注意增长率与绝对水平结合起来。增长率是一个相对值，与对比的基数值的大小有关。这种情况，计算增长1%的绝对值来克服增长率分析的局限性：

增长1%的绝对值表示增长率每增长一个百分点而增加的绝对数量：增长1%的绝对值=前期水平/100

时间序列分析的主要目的之一是根据已有的历史数据对未来进行预测。时间序列含有不同的成分，如趋势、季节性、周期性和随机性。对于一个具体的时间序列，它可能含有一种成分，也可能同时含有几种成分，含有不同成分的时间序列所用的预测方法是不同的。预测步骤：

第一步：确定时间序列所包含的成分，确定时间序列的类型

第二步：找出适合此类时间序列的预测方法

第三步：对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案

第四步：利用最佳预测方案进行预测

（1）确定趋势成分

确定趋势成分是否存在，可绘制时间序列的线图，看时间序列是否存在趋势，以及存在趋势是线性还是非线性。

利用回归分析拟合一条趋势线，对回归系数进行显著性检验。回归系数显著，可得出线性趋势显著的结论。

（2）确定季节成分

确定季节成分是否存在，至少需要两年数据，且数据需要按季度、月份、周或天来记录。可绘图，年度折叠时间序列图（folded annual time series plot），需要将每年的数据分开画在图上，横轴只有一年的长度，每年的数据分别对应纵轴。如果时间序列只存在季节成分，年度折叠时间序列图中的折线将会有交叉；如果时间序列既含有季节成分又含有趋势，则年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉，若趋势上升，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，若下降，则后面年度的折线将会低于前面年度的折线。

确定时间序列类型后，选择适当的预测方法。利用时间数据进行预测，通常假定过去的变化趋势会延续到未来，这样就可以根据过去已有的形态或模式进行预测。时间序列的预测方法：传统方法：简单平均法、移动平均法、指数平滑法等，现代方法：Box-Jenkins 的自回归模型（ARMA）。

一般来说，任何时间序列都会有不规则成分存在，在商务和管理数据中通常不考虑周期性，只考虑趋势成分和季节成分。

不含趋势和季节成分的时间序列，即平稳时间序列只含随机成分，只要通过平滑可消除随机波动。因此，这类预测方法也称平滑预测方法。

在选择某种特定的方法进行预测时，需要评价该方法的预测效果或准确性。评价方法是找出预测值与实际值的差距，即预测误差。最优的预测方法就是预测误差达到最小的方法。

预测误差计算方法：平均误差，平均绝对误差、均方误差、平均百分比误差、平均绝对百分比误差。方法的选择取决于预测者的目标、对方法的熟悉程度。

（1）平均误差（mean error）:Y:观测值，F：预测值，n预测值个数

由于预测误差的数值可能有正有负，求和的结果就会相互抵消，这种情况下，平均误差可能会低估误差。

（2）平均绝对误差（mean absolute deviation）是将预测误差取绝对值后计算的平均无擦，MAD：

平均绝对误差可避免误差相互抵消的问题，因而可以准确反映实际预测误差的大小。

（3）均方误差（mean square error）:通过平方消去误差的正负号后计算的平均误差，MSE:

（4）平均百分比误差和平均绝对百分比误差

ME,MAD,MSE的大小受时间序列数据的水平和计量单位的影响，有时并不能真正反映预测模型的好坏，只有在比较不同模型对同一数据的预测时才有意义。平均百分比误差（mean percentage error，MPE）和平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error,MAPE）则不同，它们消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响，是反映误差大小的相对值。

平稳时间序列只含有随机成分，预测方法：简单平均法、移动平均法、指数平滑法。主要通过对时间序列进行平滑以消除随机波动，又称平滑法。平滑法可用于对时间序列进行短期预测，也可对时间序列进行平滑以描述序列的趋势（线性趋势和非线性趋势）。

（1）简单平均法：根据已有的t期观察值通过简单平均法来预测下一期的数值。设时间序列已有的t期观察值为,则t+1期的预测值为：

到了t+1期后，有了t+1期的实际值，t+1期的预测误差为：=

t+2期预测值：

简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好。但如果时间序列有趋势或季节成分，该方法的预测则不够准确。简单平均法将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要。从预测角度，近期的数值比远期的数值对未来有更大的作用，因此简单平均法预测的结果不够准确。

（2）移动平均法（moving average）：通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种预测方法，有简单移动平均法（simple moving average）和加权移动平均法（weighted moving average）.

简单移动平均将最近k期数据加以平均，作为下一期的预测值。设移动平均间隔为k(1