时间序列的平稳性检验方法汇总

来源：TimeSeries

当我们有一个新的时间序列数据时，怎么判断它是否是平稳的呢？

时间序列平稳性检验方法，可分为三类：

图形分析方法

简单统计方法

假设检验方法

图形分析方法是一种最基本、最简单直接的方法，即绘制图形，肉眼判断。

可直接可视化时间序列数据，也可以可视化时间序列的统计特征。

可视化数据即绘制时间序列的折线图，看曲线是否围绕某一数值上下波动（判断均值是否稳定），看曲线上下波动幅度变化大不大（判断方差是否稳定），看曲线不同时间段波动的频率[~紧凑程度]变化大不大（判断协方差是否稳定），以此来判断时间序列是否是平稳的。

以下绘制几张图，大家来直观判断一下哪些是平稳的，哪些是非平稳的。

a. 白噪声，曲线围绕0值上下波动，波动幅度前后、上下一致，为平稳序列。b. 随机游走，曲线无确定趋势，均值、方差波动较大，非平稳序列。c. GDP数据趋势上升，均值随时间增加，非平稳序列。d. GDP季节差分后数据，曲线大致在一条水平线上上下波动，波动幅度前后变化较小，可认为是平稳的。

可视化统计特征，是指绘制时间序列的自相关图和偏自相关图，根据自相关图的表现来判断序列是否平稳。

自相关，也叫序列相关，是一个信号与自身不同时间点的相关度，或者说与自身的延迟拷贝--或滞后--的相关性，是延迟的函数。不同滞后期得到的自相关系数，叫自相关图。

（这里有一个默认假设，即序列是平稳的，平稳序列的自相关性只和时间间隔k有关，不随时间t的变化而变化，因而可以称自相关函数是延迟（k）的函数）

平稳序列通常具有短期相关性，对于平稳的时间序列，自相关系数往往会迅速退化到零（滞后期越短相关性越高，滞后期为0时，相关性为1）；而对于非平稳的数据，退化会发生得更慢，或存在先减后增或者周期性的波动等变动。

自相关的计算公式为根据滞后期k将序列拆成等长的两个序列，计算这两个序列的相关性得到滞后期为k时的自相关性。举例：

> [1, 0.3559322]其中第一个元素为滞后期为0时的自相关性，第二个元素为滞后期为1时的自相关性

根据ACF求出滞后k自相关系数时，实际上得到并不是X(t)与X(t-k)之间单纯的相关关系。因为X(t)同时还会受到中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和X(t-k)具有相关关系，所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对X(t)与X(t-k)的影响。在剔除了中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的干扰之后，X(t-k)对X(t)影响的相关程度，叫偏自相关系数。不同滞后期得到的偏自相关系数，叫偏自相关图。（偏自相关系数计算较复杂，后期再来具体介绍）

下面我们就来看看几个实战案例（上图中的数据再来看一下它们的自相关图和偏自相关图）：

(1) 白噪声的自相关系数很快就衰减到0附近，是明显的平稳序列。滞后期为0时自相关系数和偏自相关系数其实就是序列自己和自己的相关性，故为1；滞后期为1时，自相关系数为0，表示白噪声无自相关性。(2) 随机游走，自相关系数下降非常缓慢，故为非平稳序列；另从偏自相关系数中可以看到随机游走只和前一项有关。(3) GDP数据的自相关图中也可以看到存在一定的周期性，滞后4、8、12等自相关系数较大下降较慢，差分后下降多一些起到一定效果，认为差分后序列是平稳的。同可视化数据一样，直观判断带有较强主观性，但能让我们对数据有更直观的认识。

计算统计量的方法只是作为一个补充，了解即可。宽平稳中有两个条件是均值不变和方差不变，可视化数据中我们可以直观看出来，其实还可以具体计算一下看看。

很有意思的逻辑，直接将序列前后拆分成2个序列，分别计算这2个序列的均值、方差，对比看是否差异明显。（其实很多时序异常检验也是基于这种思想，前后分布一致则无异常，否则存在异常或突变）

我们来算白噪声和随机游走序列不同时间段的均值、方差：

white noise sample:mean1=-0.038644, mean2=-0.040484variance1=1.006416, variance2=0.996734random walk sample:mean1=5.506570, mean2=8.490356variance1=53.911003, variance2=126.866920白噪声序列均值和方差略有不同，但大致在同一水平线上；随机游走序列的均值和方差差异就比较大，因此为非平稳序列。

平稳性的假设检验方法当前主流为单位根检验，检验序列中是否存在单位根，若存在，则为非平稳序列，不存在则为平稳序列。

在介绍检验方法之前，有必要了解一些相关补充知识，这样对后面的检验方法理解上就会更清晰一些。

如果时间序列有“确定趋势”，比如其中， 即为确定趋势。期望中有时间变量，随时间变化，所以不是平稳时间序列。

含有确定趋势的序列的差分过程是过度差分：过度差分不但会使序列样本容量减少，还会使序列的方差变大。差分后的序列会存在自相关性，但这种自相关性是毫无意义的。

所以应该使用“退势”的方法获得平稳序列，如下：但是 如何确定，趋势拟合。消除序列中的时间趋势后，即为平稳序列，所以称这样的序列为“趋势平稳”序列或“退势平稳”序列。

另一种导致时间序列非平稳的因素为“随机趋势”。比如随机游走模型：，其中 为白噪声来自 的任何波动对 都具有永久性的冲击，最主要的是其影响力不随时间而衰减，称 为这个模型的“随机趋势”。

除持续受到来自随机趋势 的影响外，还受一个常数项 的影响。

称平稳的时间序列为“零阶单整”（Integrated of order zero），记为 。如果时间序列的一阶差分是平稳的，则称为“一阶单整”（Integrated of order one），记为 ，也称为“单位根过程”（unit root process）。

更一般地，如果时间序列的 阶差分为平稳过程，则称为“d阶单整”(Integrated of order d)，记为 。

考虑如下基础模型：，其中 为白噪声和随机游走模型很像，只不过多了个系数 。

我们知道随机游走是非平稳的，但是当 时，这个序列就变成平稳的了。 当 时，随着 的增大， 最终会收敛，长期来看 是平稳的。当 时， 为无规律非平稳的随机游走过程；当 时， 为爆炸式增长的非平稳过程。

等于1时 就是我们所说的单位根。

画图对比以下可能会更清晰一些

一阶差分方程                                                 为一阶随机差分方程（因为含有随机项） 无随机项为确定性差分方程（但非齐次，因为含常数项 ） 为对应的齐次差分方程根据差分方程理论， 的稳定性和 的稳定性是一样的，而 是否稳定取决于 是否稳定，所以判断一个差分方程是否稳定，只要看它对应的齐次差分方程是否有稳定的通解即可。以上齐次差分方程对应的特征方程为：， 称为差分方程的特征根。只有 ，即特征方程的根落在复平面的单位圆以内的时候，过程才会平稳。若果根正好落在圆上，称为单位根，为非平稳过程，比如随机游走的情形。如果落在圆外，则为爆炸式增长的非平稳过程。

差分方程写成滞后算子的形式是这样的， 为滞后算子对应特征方程（逆特征方程）为：， 称为自回归滞后算子多项式的特征根。显然，差分方程的特征值λ与自回归滞后算子多项式的特征根z是互为倒数。 均小于1（特征方程的根都在单位圆内）时是平稳的，对应的 均大于1（逆特征方程的根都在圆外）时是平稳的。

更一般的n阶差分方程 对应的齐次差分方程为： 该齐次差分方程的特征方程为：根均在单位圆内是平稳的。滞后算子形式（逆特征方程）为：根均在单位圆外是平稳的。

一般直接计算高阶差分方程的根比较复杂，有些简单规则可以用来检验高阶差分方程的稳定性。

n阶差分方程中，所有特征根均位于单位圆内的充分条件为：

n阶差分方程中，所有特征根均位于单位圆内的必要条件为：

如果 ，至少有一个特征根等于1。

一个或多个特征根等于1的时间序列，称为单位根过程。

单位根（unit root）检验就是检验该差分方程的特征方程（characteristic equation）的各个特征根（characteristic root）是均小于1，还是存在等于1的情况。没有检验均大于1的情况，是因为当根均大于1时为爆炸型发散序列，日常数据中基本不存在。

ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Testing）是最常用的单位根检验方法之一，通过检验序列是否存在单位根来判断序列是否是平稳的。ADF检验是DF检验的增强版，在介绍ADF之前，我们先来看一下DF检验。

迪基（Dickey）和弗勒（Fuller）1979年基于非平稳序列的基本特征将其大致归为三类并提出DF检验：

(1) 当序列基本走势呈现无规则上升或下降并反复时，将其归为无漂移项自回归过程；(2) 当序列基本走势呈现明显的随时间递增或递减且趋势并不太陡峭时，将其归为带漂移项自回归过程；(3) 当序列基本走势随时间快速递增时，则将其归为带趋势项回归过程。

对应检验回归式为：(i) 无漂移项自回归过程：(ii) 带漂移项自回归过程：(iii) 带漂移项和趋势项自回归过程：其中 是常数项， 是时间趋势项， 为白噪声无自相关性。

原假设 （存在单位根，时间序列是非平稳的）

备择假设 （不存在单位根，时间序列是平稳的--不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

若检验统计量大于临界值（p值大于显著性水平 ），不能拒绝原假设，序列是非平稳的；若检验统计量小于临界值（p值小于显著性水平 ），拒绝原假设，认为序列是平稳的。

下图是网络中看到的单位根检验流程图以供参考（根据该流程可以确定序列是何种类型下的平稳，即便非平稳也可知道是何种类型下的非平稳序列）：

DF的检验公式为一阶自回归过程，为了能适用于高阶自回归过程的平稳性检验，迪基等1984年对DF检验进行了一定的修正，引入了更高阶的滞后项，ADF的检验回归式修正为：

假设条件不变：

原假设 （存在单位根，时间序列是非平稳的）

备择假设 （不存在单位根，时间序列是平稳的--不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

检验流程同DF检验一致。若要严格判断序列是否是宽平稳的，可以直接检验是否不含截距项和趋势项平稳；若不能拒绝原假设（如p>0.05），序列非平稳，其实仍有必要检验序列是否是趋势平稳的。非平稳且非趋势平稳，可以使用一阶差分等平稳化方法处理后再做检验，若是趋势平稳，困于过度差分则不宜使用差分方式平稳化。

生成一个趋势平稳序列：

检验是否平稳：

说明：arch包中ADF检验可指定trend为'n'（不含截距项和时间趋势项）'c'（含截距项）'ct'（含截距项和时间趋势项）'ctt'（含截距项和时间趋势项和二次型时间趋势项）分别对应不同平稳类型的检验。（滞后期lags默认为AIC最小）以上第一个文本输出中，不指定trend默认为检验是否含截距项平稳，显著性水平p=0.836>0.05，不拒绝原假设，非平稳；以上第二个文本输出中，指定trend为检验是否含截距项和时间趋势项平稳，显著性水平p=0.0000.05，不能拒绝原假设，数据非平稳；差分后p值为0.0030.05，同样不能拒绝原假设，故差分前亦非趋势平稳。

Phillips和Perron(1988) 提出一种非参数检验方法，主要是为了解决残差项中潜在的序列相关和异方差问题，其检验统计量的渐进分布和临界值与 ADF检验相同。同样出现较早，假设条件一样，用法相似，可作为ADF检验的补充。

原假设 （存在单位根，时间序列是非平稳的）

备择假设 （不存在单位根，时间序列是平稳的--不含截距项和趋势项平稳/含截距项平稳/含截距项和趋势平稳）

同样构造一个趋势平稳序列，看下PP检验结果：

不指定trend为默认检验是否为带截距项的平稳过程，检验结果p值为0.055>0.05，对应检验统计量为-2.825大于5%显著性水平下的临界值-2.89，所以5%显著性水平下不拒绝原假设，为非平稳序列；但是检验统计量小于10%显著性水平下的临界值-2.58，故在10%的显著性水平下可拒绝原假设，认为是平稳序列。指定trend=‘ct’为检验是否为带截距项和时间趋势项的平稳过程，检验结果p值为0.0000.05，不拒绝原假设，认为序列趋势平稳，检验错误。以上几种检验中均不能100%保证检验正确，PP检验可认为是ADF检验的补充，KPSS检验同样也可和其他检验一同使用，当均认为是平稳或趋势平稳时方判定为平稳。

除以上检验方法外，还有Zivot-Andrews检验、Variance Ratio检验等检验方法。

以上代码实现中使用的是Python中的arch包，另外还有一个常用的包statsmodels中也实现了单位根检验方法，结果是一样的。

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