等比数列（幂级数）的意义和应用

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等比数列（幂级数）的意义和应用

幂级数在理工科分析中有重要意义，其中最重要的即所谓的泰勒级数。但这里讨论其中最简单的幂级数，也就是所谓的“无穷等比数列”。

                      (1)

对上式的讨论不失一般性。

对于无穷级数，自然首先要讨论的是它的收敛性，而式(1)即是我们熟知的等比数列，只是现在该数列有无穷多项，有限等比数列有求和公式：

                            (2)

证明上式需要用到数学归纳法

…

∴设

则

得证

显然(2)式的收敛域为：(-1,1)，那么在该收敛域内有和函数

于是有下面两个重要的级数展开

级数1：

               (3)

其证明如下：

∵

对两边进行积分

上式中，因为x=0时，左边等于0，所以C=0。进而

注意(3)式的收敛域，因为把x=1代入时，根据莱布尼茨辨别法，上式右边的级数是收敛的。

得证

级数2：

          (4)

其证明如下：

∵

同样对两边积分

同样因为x=0时，arctan(0)=0，所以C=0。因此

同样把x=±1代入上式右端时，根据莱布尼茨辨别法是收敛的。

得证

这个简单的级数在实际问题中的应用主要是x