图像旋转原理及实现

建议阅读该博客的朋友最好对插值、matlab编程、数字图像有一些了解，另外所有代码和测试图片都可以到GitHub去下载。

在一次数字图像处理课中，我接触到了图片旋转的一些原理，当时没完全想明白，课后通过一段时间的学习，终于完成了图片旋转的matlab程序。开始觉得应该挺简单的，但终究是纸上谈兵，在实现的过程中遇到很多问题。

我们一般认为图像应该绕着中心点旋转，但是图像的原点在左上角，在计算的时候首先需要将左上角的原点移到图像中心，并且Y轴需要翻转。设一点 ( X 0 , Y 0 ) (X_0,Y_0) (X0​,Y0​)，图像宽为 W W W，高为 H H H，原点变换后的点为 ( X 1 , Y 1 ) (X_1,Y_1) (X1​,Y1​)，变换如下式。

(1) [ X 1 Y 1 1 ] = [ X 0 Y 0 1 ] [ 1 0 0 0 − 1 0 − 0.5 W 0.5 H 1 ] \begin{bmatrix} X_1 ; Y_1 ; 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_0 ; Y_0 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ -0.5W ; 0.5H ; 1 \end{bmatrix} \tag{1} [X1​​Y1​​1​]=[X0​​Y0​​1​]⎣⎡​10−0.5W​0−10.5H​001​⎦⎤​(1)

图像旋转角度为 θ \theta θ，设原点变换后通过旋转矩阵旋转 θ \theta θ后的点为 ( X 2 , Y 2 ) (X_2,Y_2) (X2​,Y2​)，公式如下。

(2) [ X 2 Y 2 1 ] = [ X 1 Y 1 1 ] [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} X_2 ; Y_2 ; 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1 ; Y_1 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta ; -sin \theta ; 0 \\ sin\theta ; cos\theta ; 0 \\ 0 ; 0 ; 1 \end{bmatrix} \tag{2} [X2​​Y2​​1​]=[X1​​Y1​​1​]⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​(2)

旋转后的图像的宽为 W ; W^; W"，高为 H ; H^; H"，那么从笛卡尔坐标原点变换回左上角的公式如下。

(3) [ X 3 Y 3 1 ] = [ X 2 Y 2 1 ] [ 1 0 0 0 − 1 0 0.5 W ; 0.5 H ; 1 ] \begin{bmatrix} X_3 ; Y_3 ; 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_2 ; Y_2 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ 0.5W^; ; 0.5H^; ; 1 \end{bmatrix} \tag{3} [X3​​Y3​​1​]=[X2​​Y2​​1​]⎣⎡​100.5W"​0−10.5H"​001​⎦⎤​(3)

综上可得，原图像的一点 ( X 0 , Y 0 ) (X_0,Y_0) (X0​,Y0​)经过如下公式可以变换到旋转后的 ( X 3 , Y 3 ) (X_3,Y_3) (X3​,Y3​)。

(4) [ X 3 Y 3 1 ] = [ X 0 Y 0 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 − 1 0 − 0.5 W 0.5 H 1 ] [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 − 1 0 0.5 W ; 0.5 H ; 1 ] \begin{bmatrix} X_3 ; Y_3 ; 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_0 ; Y_0 ; 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ -0.5W ; 0.5H ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta ; -sin \theta ; 0 \\ sin\theta ; cos\theta ; 0 \\ 0 ; 0 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ 0.5W^; ; 0.5H^; ; 1 \end{bmatrix} \tag{4} [X3​​Y3​​1​]=[X0​​Y0​​1​]∗⎣⎡​10−0.5W​0−10.5H​001​⎦⎤​⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​100.5W"​0−10.5H"​001​⎦⎤​(4)

同理，旋转后的一点 ( X 3 , Y 3 ) (X_3,Y_3) (X3​,Y3​)经过如下公式可以变换回原图像的 ( X 0 , Y 0 ) (X_0,Y_0) (X0​,Y0​)。

(5) [ X 0 Y 0 1 ] = [ X 3 Y 3 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 − 1 0 − 0.5 W ; 0.5 H ; 1 ] [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 − 1 0 0.5 W 0.5 H 1 ] \begin{bmatrix} X_0 ; Y_0 ; 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_3 ; Y_3 ; 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ -0.5W^; ; 0.5H^; ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta ; sin \theta ; 0 \\ -sin\theta ; cos\theta ; 0 \\ 0 ; 0 ; 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; 0 \\ 0 ; -1 ; 0 \\ 0.5W ; 0.5H ; 1 \end{bmatrix} \tag{5} [X0​​Y0​​1​]=[X3​​Y3​​1​]∗⎣⎡​10−0.5W"​0−10.5H"​001​⎦⎤​⎣⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​100.5W​0−10.5H​001​⎦⎤​(5)

在开始下一部分之前，先要得到旋转后图像的大小，设原图像高为m，宽为n。代码如下，虽然看起来有点复杂，建议朋友们自己画张图看一下，那样会一目了然。

什么是前向映射呢？就是通过原图像的坐标计算旋转之后的坐标，并将相应的灰度值传给旋转后的图像。这样遇到最大的问题就是出现了一些有规律的噪声，如下图。

通过代码来分析一下产生这种现象的原因，前向映射的代码如下。m1，m2和m3这三个矩阵可以对应到公式(4)中的三个矩阵，可以看出转换后的坐标是小数，并且进行了取整操作，这样部分像素并没有对应的灰度值。

下图可以很好地理解反向映射的过程。

下面代码实现了最近邻插值和双线性插值，其中rm1，rm2和rm3表示式(5)中的三个转换矩阵。

经过反向映射得到如下结果，下面展示的是反向映射+双线性插值的结果，很好的解决了前向映射出现有规律噪声的问题。