【数学建模】最优旅游城市的选择问题：层次分析模型（含MATLAB代码）

层次分析法（The analytic hierarachy process，简称AHP）是一种常用的决策分析方法，其基本思路是将复杂问题分解为多个组成部分，然后对这些部分进行逐一评估和比较，最后得出最优解决方案。（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或员工表现得更优秀）

要解决评价类问题，要解决以下三个问题：

1、我们评价的目标是什么？

2、我们为了达到这个目标有哪几种可选方案？

3、评价的准则或者说指标是什么？

一般来说，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识或者网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选最合适的指标。

案例：请选择合适的指标，为小明选取一个最适合他的城市。

本题需要我们选择最优的旅游城市，首先上网搜索几个比较重要的指标：景点景色、旅游花费、居住环境、饮食情况、交通便利程度。选取想去的城市分别为：苏州、威海、桂林。我们先来绘制一张权重表。

指标权重

苏州

威海

桂林

景色

花费

居住

饮食

交通

现在的关键就是求出这张权重表。

确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

--选自司守奎［kuil老师的《数学建模算法与应用教材》 

一次性去考虑五个指标的关系，往往考虑不周；而两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

标度

含义

1

表示两个因素相比，具有相同重要性

3

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要

5

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要

7

表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要

9

表示两个因素相比，一个因素另一个因素极端重要

2，4，6，8

上述两相邻判断的中值

倒数

A和B相比如果标度3，那么B和A相比就是1/3

 重要性可以理解为满意程度

景色

花费

居住

饮食

交通

景色

1

1/2

4

3

3

花费

2

1

7

5

5

居住

1/4

1/7

1

1/2

1/3

饮食

1/3

1/5

2

1

1

交通

1/3

1/5

3

1

1

我们知道景色与景色属于同一元素，满意程度为1，其他亦是如此（根据自己对这几个指标的判断确定权重）。

总结：上面这个表是一个5*5的方阵，我们记为A，对应的元素为aij，这个方针有如下特征：

（1）aij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。

（2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角元素为1.

（3）aij>0且满足aij*aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）

实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

接下来我们则需要填写5个判断矩阵（我们可以通过与小明一问一答的形式，来填写，当然在论文中我们直接给出即可）

需要注意的是：在这里我们应该把表格里的数字理解为可接受度（即满意程度）。

我们在书写时也有可能会有bug。比如说：苏州=A  威海=B 桂林=C 苏州比威海景色好则A>B 苏州和桂林景色一样好则A=C 威海比桂林景色号则B>C如此便出现了矛盾

什么是一致矩阵呢？ 

也就说只要各行各列满足成倍数的关系即为一致矩阵

一致矩阵：若矩阵中每个元素 aij>0且满足 aij*aji=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。若正互反矩阵满足aij*ajk=aik，则我们称其为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值ℷmax=n且当正互反矩阵A非一致时，一定满足ℷmax>n.

判断矩阵越不一致，最大特征值与n就相差越大

第一步：计算一致性指标

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI 

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，可以考虑建立二级指标体系

第三步：计算一致性比例CR

如果CR