张角定理的三种证明方法

张角定理：如下图所示，D为△ABC的BC边上的一点，连接AD，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠ BAC /AD。

证法1：

先介绍分角定理:如下图所示，D为△ABC的BC边上的一点，连接AD，则

BD/CD=ABsin∠BAD/ACsin∠CAD。

现在设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD

由分角定理可得：

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)·(sin∠1/sin∠ BAC)

∴(BD/BC)·(sin∠ BAC/AD)=sin∠1/AC …①

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)·(sin∠2/sin∠ BAC)

∴ (CD/BC)·(sin∠ BAC/AD)=sin∠2/AB…②

①式+②式即得：sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠ BAC/AD

即sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠ BAC /AD

证法2：

先介绍正弦定理：在任意△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：

a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2R=D

由正弦定理可得：

在△ABD中,AD/sin B=BD/sin∠1…(1)

AD/sin C=CD/sin∠2…(2)

在△ABC中,AB/sin C=BC/sin(∠1+∠2)…(3)

AC/sin B=BC/sin(∠1+∠2)…(4)

由(1),(2)得

BD=AD sin∠1/sin B，CD=AD sin∠2/sin C，从而

BC=BD+CD=AD(sin∠1/sin B+sin∠2/sin C)…(5)

由(3),(4)得

sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BC sin C

sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BC sin B

将以上两式相加，并将(5)代入即可。

证法3：

由S△ABD+S△ADC=S△ABC得：

0.5sin∠BAD·AB·AD+0.5sin∠CAD·AD·AC=0.5sin∠BAC·AB·AC

两边同时除以0.5·AB·AD·AC即得sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠ BAC /AD