[快乐数学]解三角形:斯特瓦尔特定理与斯库顿定理

废话不多说，直接进入正题。

首先是斯特瓦尔特定理。

已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：

AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD。

这便是斯特瓦尔特定理。

这个定理不好记，不记也没事。只需要理解它的证明的关键步骤即可。

由余弦定理，

AB²=BD²+AD²-2BD×AD×cos∠BDA①

AC²=CD²+AD²-2CD·AD·cos∠CDA②

根据诱导公式，

cos∠BDA+cos∠CDA=0

①×CD+②×BD即可化简得到斯特瓦尔特定理。

斯特瓦尔特定理中我们更需要了解它的两条推论。

首先是中线定理，

若AD为BC中线，则AB²+AC²=2(AD²+CD²)

∵AD是BC中线

∴BD=CD

由斯特瓦尔特定理，AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

即AB²×CD+AC²×CD-AD²×2CD=2CD×CD×CD

约去CD并移项得AB²+AC²=2(AD²+CD²)。

其他推论的证明类似，我就不废话了。

其次是斯库顿定理。

若AD为∠BAC内角平分线，则AD²=AB×AC﹣BD×DC。

若AD为∠BAC外角平分线，则-AD²=AB·AC-BD·DC

若AB=AC还有AD²=AB²-BD·DC

这些定理都在解三角形时可能会用到。

例如，已知AB=8，AC=4，∠BAC=120°，D在BC边上且满足CD=3BD，那么我们就能求出AD

首先用余弦定理解出BC=4倍根号7

于是BD=根号7，CD=3根号7直接套斯特瓦尔特定理可得AD=根号31

虽然在这里用这个定理并没有比常规方法快多少

但这个定理还能在其他地方大放光彩。

对了，这个模型我更推荐用向量解。

∵CD=3BD

∴AD=3/4AB+1/4AC

（加粗的字母表示向量）

然后两边平方开根号即可。这样一步到位用向量解三角形更快。