斐波那契数列的通项公式推导

做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。

下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。

例1　在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题）

分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中，并写出的通项；然后利用，两边同除以得，由累加法，就可求出数列的通项。

解：   （ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得 因为 所以（） 于是有。

总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。

下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。

已知数列，其中，，求数列的通项。

解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。                 （1） 则由已知得     （2）

对照（1）（2）两式得解得  或   。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为 所以 。即      （3）

再次构造等比数列，设 则有

对照（3）式，可得所以 x=. 于是有

设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有