通过整数规划求解数独谜题：基于问题

2023-10-27 15:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

初始谜题

这是一个带有提示的数据矩阵 B。第一行 B(1,2,2) 表示第 1 行第 2 列的整数提示为 2。第二行 B(1,5,3) 表示第 1 行第 5 列的整数提示为 3。以下是整个矩阵 B。

B = [1,2,2; 1,5,3; 1,8,4; 2,1,6; 2,9,3; 3,3,4; 3,7,5; 4,4,8; 4,6,6; 5,1,8; 5,5,1; 5,9,6; 6,4,7; 6,6,5; 7,3,7; 7,7,6; 8,1,4; 8,9,8; 9,2,3; 9,5,4; 9,8,2]; drawSudoku(B) % For the listing of this program, see the end of this example.

2009 年发布的 Cleve's Corner 中介绍了此谜题以及一种备选的 MATLAB® 求解方法。

求解数独谜题有许多手动方法，也有许多编程方法。此示例说明一种使用二元整数规划的简单方法。

这种方法特别简单，因为您无需给出求解算法。只需将数独的规则以及每条提示表示为对解的约束，然后 MATLAB 就会生成解。

二元整数规划方法

关键思路是将谜题从 9×9 正方形网格转换为一个由二元值（0 或 1）组成的 9×9×9 立方数组。将这个立方数组想象成由 9 个正方形网络上下堆叠在一起，其中每一层对应于 1 到 9 中的一个整数。顶部网格是数组的第一个正方形层，只要解或提示包含整数 1，则该层对应位置就为 1。只要解或提示包含整数 2，第二层对应位置就为 1。只要解或提示包含整数 9，第九层对应位置就为 1。

这种表示非常适合二元整数规划。

此处不需要目标函数，目标函数也可能是常数项 0。问题实际上只是求可行解，也就是满足所有约束的解。但是，为在整数规划求解器内部打破平衡，同时保证求解速度，这里使用一个非常数目标函数。

将数独规则表示为约束

假设解 x 用一个 9×9×9 的二元数组表示。那 x 应具备哪些特性呢？首先，由于二维网格 (i,j) 的每个方格中都有且仅有一个值，因此三维数组项 x(i,j,1),...,x(i,j,9) 中有且仅有一个非零元素。换句话说，对于每个 i 和 j，都满足

∑k=19x(i,j,k)=1.

类似地，在二维网格的每一行 i 中，1 到 9 中的每个数字都只能出现一次。换句话说，对于每个 i 和 k，都满足

∑j=19x(i,j,k)=1.

二维网格中的每一列 jj 也具有同样的特性：对于每个 jj 和 k，都满足

∑i=19x(i,j,k)=1.

3×3 粗线网格具有类似的约束。对于 1≤i≤3 且 1≤j≤3 的网格元素，对于每层 1≤k≤9 都满足：

∑i=13∑j=13x(i,j,k)=1.

要表示全部九个粗线网格，只需将每个 i 和 j 索引加上 3 或 6：

∑i=13∑j=13x(i+U,j+V,k)=1, 其中 U,Vϵ{0,3,6}.

将提示表示为约束

每个初始值（提示）都可以表示为一个约束。假设在 1≤m≤9 时，(i,j) 格点处的提示为 m。则 x(i,j,m)=1。约束 ∑k=19x(i,j,k)=1 能确保在 k≠m 时，所有其他 x(i,j,k)=0。

以优化问题的形式求解数独

创建一个优化变量 x，它是一个大小为 9×9×9 的二元变量。

x = optimvar('x',9,9,9,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);

创建一个具有任意目标函数的优化问题。目标函数可以破坏问题的内在对称性，从而帮助求解器解题。

sudpuzzle = optimproblem; mul = ones(1,1,9); mul = cumsum(mul,3); sudpuzzle.Objective = sum(sum(sum(x,1),2).*mul);

将约束表示为：在每个坐标方向上 x 的总和为 1。

sudpuzzle.Constraints.consx = sum(x,1) == 1; sudpuzzle.Constraints.consy = sum(x,2) == 1; sudpuzzle.Constraints.consz = sum(x,3) == 1;

还要创建粗线网格总和等于 1 的约束。

majorg = optimconstr(3,3,9); for u = 1:3 for v = 1:3 arr = x(3*(u-1)+1:3*(u-1)+3,3*(v-1)+1:3*(v-1)+3,:); majorg(u,v,:) = sum(sum(arr,1),2) == ones(1,1,9); end end sudpuzzle.Constraints.majorg = majorg;

在包含提示的格点处设置下界 1 来包括初始提示值。此设置将对应项的值固定为 1，从而将每个提示数处的解设置为提示数本身。

for u = 1:size(B,1) x.LowerBound(B(u,1),B(u,2),B(u,3)) = 1; end

求解数独谜题。

sudsoln = solve(sudpuzzle)Solving problem using intlinprog. LP: Optimal objective value is 405.000000. Optimal solution found. Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0. The intcon variables are integer within tolerance, options.IntegerTolerance = 1e-05. sudsoln = struct with fields: x: [9x9x9 double]

对解进行舍入以确保所有项均为整数，并显示解。

sudsoln.x = round(sudsoln.x); y = ones(size(sudsoln.x)); for k = 2:9 y(:,:,k) = k; % multiplier for each depth k end S = sudsoln.x.*y; % multiply each entry by its depth S = sum(S,3); % S is 9-by-9 and holds the solved puzzle drawSudoku(S)

您可以轻松检查解是否正确。

用于绘制数独谜题的函数type drawSudokufunction drawSudoku(B) % Function for drawing the Sudoku board % Copyright 2014 The MathWorks, Inc. figure;hold on;axis off;axis equal % prepare to draw rectangle('Position',[0 0 9 9],'LineWidth',3,'Clipping','off') % outside border rectangle('Position',[3,0,3,9],'LineWidth',2) % heavy vertical lines rectangle('Position',[0,3,9,3],'LineWidth',2) % heavy horizontal lines rectangle('Position',[0,1,9,1],'LineWidth',1) % minor horizontal lines rectangle('Position',[0,4,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[0,7,9,1],'LineWidth',1) rectangle('Position',[1,0,1,9],'LineWidth',1) % minor vertical lines rectangle('Position',[4,0,1,9],'LineWidth',1) rectangle('Position',[7,0,1,9],'LineWidth',1) % Fill in the clues % % The rows of B are of the form (i,j,k) where i is the row counting from % the top, j is the column, and k is the clue. To place the entries in the % boxes, j is the horizontal distance, 10-i is the vertical distance, and % we subtract 0.5 to center the clue in the box. % % If B is a 9-by-9 matrix, convert it to 3 columns first if size(B,2) == 9 % 9 columns [SM,SN] = meshgrid(1:9); % make i,j entries B = [SN(:),SM(:),B(:)]; % i,j,k rows end for ii = 1:size(B,1) text(B(ii,2)-0.5,9.5-B(ii,1),num2str(B(ii,3))) end hold off end

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