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1、计数原理
从 n 个不同元素取出 m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A n m A_n^m Anm 表示. A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)=(n−m)!n! 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个组合(combination). 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 C n m C_n^m Cnm 表示. A n m = n ! m ! ( n − m ) ! A_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} Anm=m!(n−m)!n!. C n 0 = 1 C_n^0=1 Cn0=1. C n m = C n n − m C_n^m=C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m C n + 1 m = C n m + C n m − 1 C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1} Cn+1m=Cnm+Cnm−1 1.1、二项式二项式定理(binomial theorem): ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + . . . + C n k a n − k b k + . . . + C n n b n (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...+C_n^nb^n (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnkan−kbk+...+Cnnbn 2、随机变量及其分布 2.1、离散型随机变量及其分布列随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable). 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量(discrete random variable). 概率分布列(probability distribution series),简称分布列. X01P1-pp如上表,随机变量 X 服从两点分布(two-point distribution),称 p=P(X=1) 为成功概率. X01…mP C M 0 C N − M n − 0 C M n \frac{C_M^0C_{N-M}^{n-0}}{C_M^n} CMnCM0CN−Mn−0 C M 1 C N − M n − 1 C M n \frac{C_M^1C_{N-M}^{n-1}}{C_M^n} CMnCM1CN−Mn−1… C M m C N − M n − m C M n \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_M^n} CMnCMmCN−Mn−m如上表,随机变量 X 服从超几何分布(hypergeometric distribution). 2.2、二项分布及其应用P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB) 表示在事件 A 发生的条件下,事件 B发生的条件概率(conditional probability),其中 P(AB)表示 A 和 B 同时发生的概率.P(B|A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则有 P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A). 若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立(mutually independent). 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验(independent and repeated trials). 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则有 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n. P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n. 此时称随机变量 X 服从二项分布(binomial distribution),记作 X ~ B ( n , p ) B(n,p) B(n,p),并称 p 为成功概率. 2.3、离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2… x i x_i xi… x n x_n xnP p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2… p i p_i pi… p n p_n pn则称 E ( x ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + . . . + x i p i + . . . + x n p n E(x)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_ip_i+...+x_np_n E(x)=x1p1+x2p2+...+xipi+...+xnpn 为随机变量 X 的均值(mean) 或数学期望(mathematical expectation). E ( a X + b ) = a E ( X ) + b . E(aX+b)=aE(X)+b. E(aX+b)=aE(X)+b. 若 X ~ B ( n , p ) B(n,p) B(n,p),则 E(X)=np. 设离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2… x i x_i xi… x n x_n xnP p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2… p i p_i pi… p n p_n pnD ( X ) = ∑ i = 1 n ( x i − E ( X ) ) 2 p i D(X)=\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2p_i D(X)=∑i=1n(xi−E(X))2pi,D(X) 为随机变量 X 的方差(variance), D ( X ) \sqrt[]{D(X)} D(X) 为随机变量 X 的标准差(standard deviation). 若 X 服从两点分布,则 D ( X ) = p ( 1 − p ) D(X)=p(1-p) D(X)=p(1−p); 若 X ~B(n,p),则 $D(X)=np(1-p)). D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX+b)=a^2D(X) D(aX+b)=a2D(X). 2.4、正态分布φ μ , σ ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) φ_{μ,σ}(x)=\frac{1}{\sqrt[]{2π}σ}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}},x∈(-∞,+∞) φμ,σ(x)=2π σ1e−2σ2(x−μ)2,x∈(−∞,+∞) 其中 μ 和 σ(σ>0) 为参数, φ μ , σ ( x ) φ_{μ,σ}(x) φμ,σ(x) 的图像为正太分布密度曲线,简称正态曲线. X 落在区间(a,b] 的概率为 P ( a < X ≤ b ) = ∫ a b φ μ , σ ( x ) d x P(a |
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