新加坡数学凭什么这么火？从鸡兔同笼看新加坡数学建模思维

鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题，书中是这样叙述的：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

通俗的意思是，有若干只鸡兔在同一个笼子里，从上数有35个头，从下数，有94条腿，问笼中各有多少只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？

01/传统解法/

① 假设法

假设全为兔或假设全为鸡，这也是最常见的解法之一。

假设把这35个头都看成鸡，那么腿应该是35×2=70（条），就比94还少，多出来的腿：94-70=24（条），就是兔子的腿，每只兔子还剩2条腿，那兔子就是24÷2=12（只），求鸡只数可以列式计算：35-12=23（只）。

假设法是解决“鸡兔同笼”问题最容易理解的方法之一，也是解决应用题常见的思维方式。

② 方程法

一元一次方程法：

设鸡的数量为x只，则兔子有（35-x）只，有2x+4（35-x）=94，解出x=23，所以有鸡23只，兔子35-23=12（只）。

二元一次方程法：

假设鸡有x只，兔有y只，可列方程组：

则解出x=23，y=12.则鸡有23只，兔子有12只。

③ 抬腿法

“抬腿法”是假设每只鸡和兔抬2条腿，得出35×2=70,再用94－70=24，即笼子里还有24条腿，而每只兔子已经抬起2条腿，剩下这些腿都是兔子的，平均每只兔子分2条腿，24÷2=12，即笼子里有12只兔子。

35－12=23，即笼子里有23只鸡。

这种方法就是所谓的“消元法”，它也是孙子算经上记载的解法，令古今中外的数学家都赞叹不已！

02/新加坡数学解法/

新加坡数学惯以CPA模型教学法闻名世界，那么新加坡数学是怎么解的呢？

小学生通常因为以下原因而觉得应用题很难解：对数学语言的掌握欠佳；对运算方式的理解很有限；当问题的结构比较难懂时，他们不能将已知项关联到未知项上；以及不会分析问题的情境。

在这些情况下，建模的解题方式效果就十分显著了，CPA教学法能将复杂的数学问题通过建模的方式简化，通过实物转化成图像，培养孩子从具体到抽象的运算思维，让数学概念容易理解，不再难懂。

不如一起来直观感受下新加坡数学的解题过程吧！

第一步：假设所有的动物都是鸡。每个动物就有2条腿。画一个格子代表一只动物有2条腿。

第二步：画一个箭头指向右边，表示这个格子被重复了36遍（在箭头末端标上”36″)。

第三步：既然所有的动物都只有2条腿，

36 X 2条腿 = 72条腿

那么它们一共有72条腿（假设所有的动物都是鸡的情况）。

第四步：事实上一共有100条腿，多出来的腿一定是属于兔子的（兔子有4条腿而不是2条腿）。所以，我们来画另一个长的格子表示多出来的腿。

100 – 72 = 28条腿

所以，有28条“多出来”的腿。

第五步：既然多出来的腿属于兔子，那每只兔子应该有2条多出来的腿。

28条“多出来”的腿 / 每只兔子有2条“多出来”的腿 = 14只兔子。

36只动物 – 14只兔子 = 22只鸡

所以，一共有22只鸡。

这仅仅是运用新加坡数学的一个情境。

03/新加坡数学有些什么概念/

从数学的知识点上来分，新加坡数学涵盖了 “Addition”（加法），”Subtraction”（减法）， “Multiplication”（乘法），”Division”（除法），”Comparison”（比较），”Fractions”（分数），”Percentages”（百分比），”Decimals”（小数），”Average”（平均数）和 “Ratio”（比例）。

而从概念上来说，它运用到了“Part-Whole”（部分整体），”Comparison”（比较），”Change”（变化），”Place Holder” (预留位置）”Remainder”（余数），”Equal”（等量），”Excess Value”（超出价值），”Constant Difference”（恒定差异），”Constant Quantity”（恒定数量），”Constant Total”（恒定总数），”Repeated Variable”（重复变量）。

以下列举模型法三大主要概念的具体解释。

1. “Part-Whole”（部分整体）

Part-Whole 是模型法的三大主要概念之一，和另外两个 Comparison，Change 推导出了模型法中的其他方法。

新加坡老师会先用实体物品让学生了解2个或以上部分之间的部分整体关系，直到学生可以形象化这种关系，老师会用长方形条块去代替实物来体现模型关系。

刚开始我们可以给孩子实物，3个球和另外2个球，让他们把两组实物放在一起来找到总数。

当他们可以轻松叠加实物后，就可以叫他们画出实物的图像来表述数学式 3 + 2 =5。

在这之后，就可以教孩子去画不带实物的格子了。

最后，这个式子可以被想象成一个由两个部分组成的整体，孩子可以显而易见地看到要找出这个整体，他们只需要把两个部分加起来。

所以，3 + 2 = 5。一共有5个球。

而且，我们也能看到这三个量（一个整体和两个部分）之间的关系可以被总结为：

Part + Part = Whole

Whole – Part = Part

2. “Comparison”（比较）

Comparison 也是三大主要概念之一，老师依旧会从实物转换到格子。

刚开始我们可以给孩子5支铅笔和3块橡皮，让他们把这两组物件并排放置（1支铅笔对着1块橡皮）。

然后，他会发现有2支铅笔不能跟任何1块橡皮并排放了，因为橡皮不够了。

当孩子们已经足够自信去比较实物之后，我们就可以教他们在格子里画图像来诠释数学式子 5 – 3 = 2。

接下来，我们可以教孩子画没有物件的格子去代表了。

最终，这个式子可以被理解成两个数量之间的比较，而孩子们也可以轻易看到它们之间的差别。

他们只需要把小的那个数量从大的数量里减去。

所以，5 – 3 = 2

Ben的铅笔比橡皮多两个。

Larger Quantity – Smaller Quantity = Difference

Smaller Quantity + Difference = Larger Quantity

Larger Quantity – Difference = Smaller Quantity

3. “Change”（变化）

这里跳过实物演示和画方格，我们直接用长条框框来表示一个原来的数值经过增加一个定量而得到了一个新的数值。

要找到这个新的值，他们要把这个“增加的量”加到原有的数值上。

3 + 1 = 4

所以LiLy现在有4个弹珠了。

同样的，我们也能归纳出这三个量之间的关系：

Original Value + Increase = New Value

New Value – Increase = Original Value

New Value – Original Value = Increase

04/新加坡数学的优势/

优势一

用数学的语言使抽象的问题变得可视化，将问题转化成模块、数轴、图形。

将每个思考解决的过程都由图示呈现了出来，对于低年级尤其刚刚接触数学概念的学生来说，无疑显得容易亲近多了。

优势二

从上面的例题不难看出，新加坡数学有一个贯穿始终的框架，即“实物(Concrete) – 图画(Pictorial) – 抽象(Abstract)”的 CPA 三步法。

①C-Concrete具象化

将专业的数学教具和教学相结合，将数学问题转化为日常生活当中的问题，可有效培养孩子的数感。

②P-Pictorial形象化

将问题通过图像表述出来，让孩子理解其数学含义。

③A-Abstract抽象化

将复杂的数学问题抽象为简单的数学图形，便于孩子理解。

通过建模，画图，把复杂的数学问题简单化，利用实物道具和符号，把比较难理解的数理问题“图像化”，让孩子动手动脑培养数理思维。

也就是说，只要孩子们学会画图，再难的题目，都会变得简单明了~

优势三

新加坡数学强调，数学也是一门语言，学生要能用数学的语言来 articulate（表达）。并非一味地机械刷题，而是在反复锻炼理解和表述数学的语言能力。

无论是被反复提及的“建模”，还是各种跟现实更紧密的联系，目的都是为了让孩子们更容易去理解和建立起扎实的数学思维基础。

05/为什么选择Mathplore新加坡数学/

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