墨卡托投影原理及瓦片公式推导

墨卡托投影将地球球面投影到一个圆柱体柱面上，将地球看作一个正球体时，以 O O O为地球球心，从球心向外辐射射线，与地球外接圆柱面交与 P ′ P' P′。 设纬度为 ϕ \phi ϕ，经度为 λ \lambda λ，其中：

ϕ ∈ ( − π 2 , π 2 ) \phi\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) ϕ∈(−2π​,2π​) λ ∈ ( − π , π ) \lambda\in(-\pi,\pi) λ∈(−π,π)

对于经纬度为( ϕ \phi ϕ， λ \lambda λ)的坐标点，投影到圆柱面的坐标为( R tan ⁡ ϕ R\tan\phi Rtanϕ， R λ R\lambda Rλ)，坐标轴分别与柱面高以及柱面弧平行，设经度轴为 x x x轴，纬度轴为 y y y轴。 投影后， x x x最大取值为赤道长，即 x m a x = 2 π R x_{max}=2\pi R xmax​=2πR，而 y m a x = 2 R tan ⁡ ϕ m a x y_{max}=2R\tan\phi_{max} ymax​=2Rtanϕmax​，其中 R R R为球半径。 由于投影将圆柱面投影成正方形，长宽相等，则：

x m a x = y m a x x_{max}=y_{max} xmax​=ymax​

即：

2 π R = 2 R tan ⁡ ϕ m a x ( 1 ) 2\pi R=2R\tan\phi_{max} (1) 2πR=2Rtanϕmax​(1)

墨卡托投影将地球映射成了一个经纬度均匀分布的坐标系，由于将球体直接投影到柱面时经度是均匀的而纬度是不均匀的，所以地图需要对纬度进行防畸变处理。下面讨论纬度 ϕ \phi ϕ与畸变处理后地图纵坐标 y y y的函数关系。 P P P点在地球上的经度为 λ \lambda λ，纬度为 ϕ \phi ϕ，设 Q Q Q点为地球上与 P P P点无限接近的一点，则 Q Q Q点经纬度分别为 λ + Δ λ \lambda+\Delta\lambda λ+Δλ、 ϕ + Δ ϕ \phi+\Delta\phi ϕ+Δϕ。 P P P、 M M M所在纬线圈的半径 r = R cos ⁡ ϕ r=R\cos\phi r=Rcosϕ 其中 R R R为赤道圆半径。

由于 P P P、 M M M在同一纬线圈上，所以 P M PM PM间的弧长为它们纬线圈半径与两点经度差之积，即： P M = r ∗ Δ λ = R Δ λ cos ⁡ ϕ PM=r*\Delta\lambda=R\Delta\lambda\cos\phi PM=r∗Δλ=RΔλcosϕ Q M = R ∗ Δ ϕ QM=R*\Delta\phi QM=R∗Δϕ

P ′ P' P′、 Q ′ Q' Q′为地球上点 P P