大学数学建模实验报告

实验报告

课程名称数学建模        年级          日期姓    名         学号      班级实验名称常微分方程数值解

实验目的及要求：

1.练习数值微分的计算

2.掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题的方法

3.通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题

4.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。

实验内容：

一．问题分析

两种群相互竞争模型如下：

其中x（t），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。

分析：

这里用x (t)表示甲种群在时刻t的数量，即一定区域内的数量。y(t)表示乙种群在时刻t的数量。假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。则我们可以得到如下模型：

x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)

同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：

y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)

如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。

问题一：

设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。

编写如下M文件：

function xdot=jingzhong(t,x)

r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;

xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;

然后运行以下程序：

ts=0:0.1:10;

x0=[10,10];

[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);

[t,x]

plot(t,x),grid,

gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize{12}y(t)'),

pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

xlabel('x'),ylabel('y')

得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：

相图为：

结论：当t充分大时，x和y的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。如上述模型中，甲种群繁荣下去，乙种群很快灭绝。

问题二：

改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，但s1,s2不变，（或保持s11），计算并分析所得结果；若s1=1.5(>1)，s2=0.7(1)，s2=0.7(1)，s2=0.7(l，s2