【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型

特殊二元关系 :

集合 A A A 是任意集合 , 集合 A A A 中可以定义以下关系 :

空关系 : ∅ \varnothing ∅ , 空关系中没有关系 ;

恒等关系 : I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A = \{ | x \in A \} IA​={∣x∈A}

全域关系 : E A = A × A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } E_A = A \times A = \{ | x \in A \land y \in A \} EA​=A×A={∣x∈A∧y∈A} , 任何两个元素之间都有关系 ;

上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;

全域关系 是 最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;

空关系 是 最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;

恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;

A ⊆ Z A \subseteq Z A⊆Z , A A A 集合是整数集的子集 , 定义 A A A 集合上的整除关系 :

D A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∣ y } D_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x|y \} DA​={∣x∈A∧y∈A∧x∣y}

其中的 x ∣ y x|y x∣y 中的 ∣ | ∣ 符号是整除的意思 , x x x 整除 y y y ;

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

整除关系示例 :

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{ 1, 2, 3, 4 \} A={1,2,3,4}

D A = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 1 , 4 > , < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 3 , 3 > , < 4 , 4 > } D_A = \{ , , , , , , , \} DA​={,,,,,,,}

A ⊆ R A \subseteq R A⊆R , 集合 A A A 是实数集子集 , 在集合 A A A 上有以下二元关系 :

大于关系 ( Great Than ) :

G A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x > y } G_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x > y \} GA​={∣x∈A∧y∈A∧x>y}

大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :

G E A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≥ y } GE_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x \geq y \} GEA​={∣x∈A∧y∈A∧x≥y}

小于关系 ( Less Than ) :

L A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x < y } L_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x < y \} LA​={∣x∈A∧y∈A∧x ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≤ y } LE_A = \{ | x \in A \land y \in A \land x \leq y \} LEA​={∣x∈A∧y∈A∧x≤y}

如果 A A A 集合是有限集 , 则 A A A 上的关系是有限个 ;

如果 A A A 集合是无限集 , 则 A A A 上的关系是无限个 ;