数字电子技术之逻辑代数基础

逻辑代数是由英国数学家乔治布尔首先提出来的,由此也称为布尔代数。

后来，美国数学家香农将布尔代数应用于开关矩阵电路中，因而逻辑代数又称为开关代数。

在计算机程序语言中，用布尔的名字命名了一种变量形式: Boole型变量，取值为True (真)、False (假)。

常量与常量之间的与、或、非:

这两组公式为对偶关系,名字并不重要

[例]证明公式: A + BC = (A + B)(A + C)

(A + B)(A + C) = A + AC + AB + BC = A(1 + C + B) + BC = A + BC

很明显,公式推导法相比于真值表判定法来说,要更简单些

吸收定律1、2、3:

AB + A B ‾ \overline{\text{B}} B = A --> 消相邻项

[例]: (1) F = ABC + A B ‾ \overline{\text{B}} BC = AC (2) F = AC + BC + A + B ‾ \overline{\text{A + B}} A + B​C = (A + B)C + A + B ‾ \overline{\text{A + B}} A + B​C = C (3) F = ABC D ‾ \overline{\text{D}} D + AB C ‾ \overline{\text{C}} C D ‾ \overline{\text{D}} D = AB D ‾ \overline{\text{D}} D

A +AB = A -->消多余项

[例]: (1) F = A + AB + A C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = A + A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D

A + A ‾ \overline{\text{A}} AB = A + B -->消多余因子

[例]: (1) F = A + A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = A + BC D ‾ \overline{\text{D}} D (2) F = A + B + A ‾ \overline{\text{A}} A B ‾ \overline{\text{B}} BCD = A + B + B ‾ \overline{\text{B}} BCD = A + B + CD

这里也可以推导出 A ‾ \overline{\text{A}} A ⋅ \cdot ⋅ B ‾ \overline{\text{B}} B = A + B ‾ \overline{\text{A + B}} A + B​

[例]: (1) F = AB + B ‾ \overline{\text{B}} BC + AC + A B ‾ \overline{\text{B}} BC D ‾ \overline{\text{D}} DE = AB + B ‾ \overline{\text{B}} BC --> 消去多余项AC (2) F = A ‾ \overline{\text{A}} ABC + A B ‾ \overline{\text{B}} BC + A ‾ \overline{\text{A}} A B ‾ \overline{\text{B}} BD + ABD + CDE (3) F = B C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} AC + A C ‾ \overline{\text{C}} C + B ‾ \overline{\text{B}} BC 这题没有可以直接消去的项,我们根据后两项可以加一项,等式仍然成立: F = B C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} AC + A C ‾ \overline{\text{C}} C + B ‾ \overline{\text{B}} BC + A B ‾ \overline{\text{B}} B = B C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} AC + A B ‾ \overline{\text{B}} B

摩根定律的由来: 证明过程:

已知 F = A + B + C + D ,求反函数 F ‾ \overline{\text{F}} F

解: F ‾ \overline{\text{F}} F = A + B + C + D ‾ \overline{\text{A + B + C + D}} A + B + C + D​ = A + B ‾ \overline{\text{A + B}} A + B​ ⋅ \cdot ⋅ C + D ‾ \overline{\text{C + D}} C + D​ = A ‾ \overline{\text{A}} A ⋅ \cdot ⋅ B ‾ \overline{\text{B}} B ⋅ \cdot ⋅ C ‾ \overline{\text{C}} C ⋅ \cdot ⋅ D ‾ \overline{\text{D}} D

对比原函数和反函数: 可以发现如下规律:

在利用摩根定律做这道题时,会得到两个答案: 这时就要提到运算的优先级了

异或和同或是同级运算,且优先级低于乘,高于加

因此回过头来看刚刚的例题,右边的答案才是正确的:

在任何包含变量A的逻辑公式中,若以另外一个逻辑表达式带入公式中所有A的位置(即替换A ) ,公式仍然成立。

与摩根定律第二个推广的不同:

使用对偶定律,可以根据一个成立的逻辑公式,得到与其结构上满足对偶关系的新公式。

通过对偶定律可以得到以下推广: 对偶定律的推广: 对偶公式表:

逻辑函数的形式多种多样，每-种表达式,都对应着一种电路组成形式,表示一个确定的逻辑电路。

[例]已知逻辑表达式F= AB+ A ‾ \overline{\text{A}} AC,将其转换为其他几类常见形式:

先求出反函数的与或式,再取反一次 ,不处理即可: 最后再加个非号:

与或非式用摩根定律展开两层,得到或与式:

或与式两次取反,用摩根定律展开一层: