收敛数列的性质

回顾：

设{ a n a_{n} an​}。是一个数列, a是一个实数, 如果对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在一个 N ∈ N ∗ N \in \mathbf{N}^{*} N∈N∗，使得凡是n>N时都有 ∣ a n − a ∣ < ε \left|a_{n}-a\right|0 ε>0，总存在 N ∈ N ∗ N \in \mathbf{N}^{*} N∈N∗，使得这数列中除有限多项 a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} a1​,a2​,⋯,an​可能是例外，其他的项均落在a的 ε \varepsilon ε-邻域中.（我们称关于a对称的开区间 ( α − ε , α + ε ) (\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon) (α−ε,α+ε) 为a的 ε \varepsilon ε-邻域）。

如果数列{ a n a_{n} an​}收敛，则它只有一个极限，也就是说，收敛数列的极限是惟一的.

设{ a n a_{n} an​}是一个数列，如果存在一个实数A，使得 a n ⩽ A a_{n} \leqslant A an​⩽A 对一切 N ∈ N ∗ N \in \mathbf{N}^{*} N∈N∗成立，则称{ a n a_{n} an​}是有上界的，A是这数列的一个上界. 类似地，可以定义有下界的数列. 如果数列{ a n a_{n} an​}既有下界又有上界，则称它是一个有界数列。 非常明显的是，数列{ a n a_{n} an​}是有界数列必须且只须它的各项全都包含在同一个有限的区间之内.

收敛数列必是有界的。

证明：当n>N时有 ∣ a n − a ∣ < 1 \left|a_{n}-a\right| syms x >> limit(abs(x)/sin(x),x,0) ans = NaN >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'left') ans = -1 >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'right') ans = 1 >> limit(abs(x^2-x-7),x,3) ans = 1 >> limit((x-1)/(x^n-1),x,1) ans = 1/n >> limit(exp(1)^(1/x),x,0) ans = NaN

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