【数学】简单介绍一下协整（cointegration）

导语：本文旨在直观地为大家介绍协整的概念，帮助大家理解其基本含义，这个概念提出的动机，以及简单的应用场景。

这里只是想给大家指出协整的直观定义，并没有涉及严格的数学符号的定义及严密的公式推导。如果大家感兴趣，可以参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Cointegration。量化课堂未来也会对其深度内容探讨。

为什么要平稳/协整：

提到协整，就不得不提平稳性。

简单地说，平稳性（stationarity）是一个序列在时间推移中保持稳定不变的性质，它是我们在进行数据的分析预测时非常喜欢的一个性质。如果一组时间序列数据是平稳的，那就意味着它的均值和方差保持不变，这样我们可以方便地在序列上使用一些统计技术。我们先看一个例子，了解平稳和非平稳序列直观上长什么样。

图片来源：维基百科

上图中，靠上的序列是一个平稳的序列，我们能看到它始终是围绕着一个长期均值在波动，靠下的序列是一个非平稳序列，我们能看到它的长期均值是变动的。

举一个应用的例子，如果某个资产的价格序列（或者两个序列的价差）是平稳的，那么当它在偏离了其均值后，人们可以期待价格会在未来的某一个时间回归这个均值。我们可以借助这个性质进行投资从而获利。假设一只股票的长期均值是9元，而现在的价值是8元。如果经过检验，我们认为这个股票的历史序列具有平稳的性质，并且假设这个平稳性是能保持的，就可以买入这只股票，等待未来它的价格回归9元，从而获得1元的利润。

这就是一个具有平稳性质的股票价格序列：

平稳性是很好用，但在现实中，绝大多数的股票都是非平稳的，那么我们是否还能够利用平稳性质进行获利呢？答案是肯定的，这时协整关系（cointegration）就出场了！如果两组序列是非平稳的，但它们的线性组合可以得到一个平稳序列，那么我们就说这两组时间序列数据具有协整的性质，我们同样可以把统计性质用到这个组合的序列上来。但是需要指出的一点，协整关系并不是相关关系（correlation）。

举个例子，两组时间序列数据的差是平稳的，则我们可以根据这个差的平稳性进行投资获利：当两只股票的价差过大，根据平稳性我们预期价差会收敛，因此买入低价的股票，卖空高价的股票，等待价格回归的时候进行反向操作从而获利。

这就是配对交易（pairs trading）的由来。是不是很清晰。

平稳性和检验方法：

严格地说，平稳性可以分为严平稳（strictly stationary）和弱平稳（或叫协方差平稳，covariance stationary等）两种。严平稳是指一个序列始终具有不变的分布函数，而弱平稳则是指具序列有不变的常量的描述性统计量。所有强平稳序列都满足弱平稳性质，但反之不成立。我们一般所说的平稳都是指弱平稳。在时间序列分析中，我们通常通过单位根检验（unit root test）来判断一个过程是否是弱平稳的。

一个常见的单位根检验方法是Dickey-Fuller test，大致思路如下：假设被检测的时间序列 满足自回归模型 ，其中 为回归系数， 为噪声的随机变量。若经过检验，发现 < 1，则可以肯定序列是平稳的。在Dickey Fuller Test的基础上，还有衍生出来的augmented Dickey-Fuller test，是考虑了序列的滞后性，在此不做过多陈述，在未来量化课堂的数学专栏里将会介绍。

我们人为地构造两组数据，由此直观地看一下协整关系。

构造数据

首先，我们构造两组数据，每组数据长度为100。第一组数据为100加一个向下趋势项再加一个标准正态分布。第二组数据在第一组数据的基础上加30，再加一个额外的标准正态分布。有

其中Y_t为趋势项， \varepsilon _t和 \mu _t 为无相关性的正态随机变量。

代码如下：

显然，这两组数据都是非平稳的，因为均值随着时间的变化而变化。但这两组数据是具有协整关系的，因为他们的差序列 Y_t-X_t是平稳的：

上图中，可以看出蓝线 一直围绕均值波动。而均值不随时间变化（其实方差也不随时间变化）。

最后小结一下：如果完全从数学的角度讲清楚协整，会比较复杂，日后的量化课堂会有涉及。我们只是在了解（level-0）的层面上做了一个简单介绍，目的还是让大家更好的将协整与实际应用结合起来。

请参见后面的应用类文章。文中代码可以克隆，自己改改摆弄摆弄：https://www.joinquant.com/post/1731